Coefficiente binomiale: regole

In questo appunto di matematica descriviamo cosa sono i coefficienti binomiali. Nell’ambito del calcolo combinatorio sono ampiamente utilizzati. Vediamo quali sono le formule, le regole e alcune applicazioni numeriche dopo aver dato anche le definizioni di base di disposizioni e combinazioni semplici e con ripetizione. Una delle applicazioni del coefficiente binomiale è proprio il calcolo delle combinazioni di n oggetti di classe k.

Calcolo combinatorio a cosa serve

Se vogliamo essere sicuri di vincere al superenalotto, quante sono le sestine che dobbiamo costruire?
Se siamo appassionati di montagna e vogliamo fare una scalata con un gruppo di 5 amici, in quanti modi possiamo predisporre la cordata per raggiungere la cima?
Volendo compilare una schedina del totocalcio, in quanti modi dobbiamo predisporre la sequenza dei simboli 1, 2, x?
Il calcolo combinatorio si occupa di studiare come si possono combinare insieme più oggetti diversi o anche uguali fra loro cercando di dare risposte a domande come queste.
Nel primo quesito, l'ordine con cui scegliamo i numeri non è importante al fine della vincita.
Negli altri due riveste un ruolo importante l'ordine con cui si susseguono gli oggetti.
Avendo a disposizione un numero di oggetti n, ci sono situazioni in cui ogni oggetto compare al massimo una volta, ci sono situazioni in cui gli oggetti si possono ripetere più volte.

Il calcolo combinatorio ha applicazioni in diversi campi oltre a quello del gioco come: la chimica, la genetica, le scienze sociali, la musica, il calcolo della probabilità e la statistica.

Allineamenti, combinazioni disposizioni

Si definisce allineamento un qualunque ordinamento di n oggetti distinti in modo che siano collocati in posti numerati da 1 a n.
Sono esempi di allineamento: l’elenco delle lettere dell’alfabeto, l’elenco degli studenti di una classe, la fila delle persone in coda allo sportello bancario; un allineamento è un elenco di oggetti ordinati secondo qualche criterio.
Si dice disposizione semplice di n oggetti di classe k, con

, ogni allineamento di k oggetti scelti fra gli n.
Parliamo di disposizione semplice quando consideriamo un elenco ordinato di k oggetti comunque vengano scelti fra quelli dati. Questo significa che due disposizioni sono diverse se cambiano gli oggetti che le formano, oppure se cambia l'ordine con cui gli oggetti sono disposti.
Si dice combinazione semplice di n oggetti di classe k con

, ogni raggruppamento di k oggetti scelti fra gli n, in modo indipendente dall'ordine con cui vengono presi. Due combinazioni sono diverse solamente se differiscono per almeno un oggetto.
Qualsiasi parola può essere pensata come una disposizione delle lettere dell'alfabeto: la parola albero rappresenta una disposizione delle 21 lettere dell'alfabeto (n=21) di classe 6 (k=6 lettere che compongono la parola).
Si dice disposizione con ripetizione di classe k ogni allineamento di k oggetti scelti sempre fra gli n dati, con la convenzione che ogni oggetto possa essere ripetuto più volte.
La parola matematica è una disposizione di 5 lettere (m, a, t, e, i, c) delle quali m, a, t, sono ripetute rispettivamente due volte tre volte e due volte.
Si dice combinazione con ripetizione di classe k, ogni raggruppamento di k oggetti scelti fra gli n dati, con la convenzione che ogni oggetto possa essere ripetuto più volte.
Il coefficiente binomiale serva a calcolare il numero delle combinazioni semplici di oggetti di classe k.

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo combinatorio vedi qua

Numero fattoriale, definizione

Propedeutica alla definizione di coefficiente binomiale è la definizione di numero fattoriale.
I numeri fattoriali si indicano con il simbolo "n!", dove "n" è un numero intero positivo. Il suo valore (che è anche la sua definizione) è dato dal prodotto di tutti i numeri interi positivi minori o uguali ad esso.
In formula:

Così ad esempio:

Nei numeri fattoriali si assume per assioma che 0! = 1.

Esistono fattoriali per qualsiasi numero, ma in questo appunto ci limiteremo a quelli appena introdotti, e che per completezza dovremmo chiamare "fattoriali di numeri naturali".

Coefficienti binomiali

I coefficienti binomiali si indicano con questo simbolo:

Dove "n" e k" sono numeri naturali (cioè numeri interi e positivi).
Un altro modo, sebbene meno usato, per indicarli è:

I coefficienti binomiali sono a loro volta numeri naturali.
Per ottenere tale condizione occorre che "k" sia inferiore o al massimo uguale ad "n". In formula:

Il valore del coefficiente binomiale si calcola con una formula ben precisa, che è la seguente:

Esempio di calcolo di un coefficiente Binomiale

Come si vede, è rispettata la condizione di partenza, ovvero 6 e 5 sono numeri naturali e 5 è minore di 6.

Attraverso i coefficienti binomiale è possibile costruire un numero di sottoinsiemi di k elementi che si possono formare a partire da un insieme più grande dove gli elementi sono n.

Proprietà dei coefficienti binomiali

I coefficienti binomiali godono di una serie di proprietà:

1) Il coefficiente binomiale di due numeri uguali è sempre pari ad 1 e si esprime in formula:

Considerando che il fattoriale 0! è per definizione pari ad 1, possiamo anche scrivere che:

E quindi che:

2) Il coefficiente binomiale nel quale il termine "k" è pari ad 1, dà come valore dell'intero coefficiente binomiale il numero "n".

In formule:

Si può anche intuire che:

E quindi che:

3° Proprietà:

Questo si dimostra facilmente: applicando la definizione di valore del coefficiente binomiale ad entrambi i termini, si appurerà che essi hanno lo stesso valore.
Le due proprietà che seguono sono assai difficili da dimostrare, e complesse da applicare. Ci limiteremo quindi a formularle.

4° Proprietà

5° Proprietà:

Quest'ultima proprietà è molto importante perchè consente di calcolare attraverso i coefficienti binomiali il "triangolo di Tartaglia".
Il "triangolo di Tartaglia" (che deve il suo nome al matematico bresciano che lo inventò, Niccolò Tartaglia) è una costruzione geometrico-aritmetica che consente di calcolare i coefficienti di sviluppo di qualsiasi binomio:

...con "n" costituito da un numero intero.

Ricaviamo i coefficienti del polinomio che è lo sviluppo del cubo di binomio

I coefficienti α,β,γ,δ sono facilmente ricavabili da triangolo di Tartaglia e sono in questo esempio rispettivamente:α=1, β=3, γ=3, δ=1.

Per cui lo sviluppo è pari a:

Ricordiamo infatti che il cubo di binomio è un prodotto notevole il cui sviluppo prevede la somma di quattro termini due cubi e due tripli prodotti.

Per ulteriori approfondimenti sui prodotti notevoli vedi qua