Elementi di analisi numerica

Le tangenti di Newton

Deriviamo:

Il metodo delle tangenti (detto anche metodo di Newton - Raphson) consiste

nell'approssimare una curva alla sua retta tangente in un estremo dell'intervallo

contenente la soluzione (si effettua un'approssimazione lineare della funzione f(x)); per

poterlo usare bisogna che f(x), f'(x), f"(x) esistano e siano continue in [a,b] e che f'(x) e

f"(x) siano diverse da zero in [a,b].

Questo metodo potrebbe non convergere se si parte da un valore della "x" troppo

lontano dalla radice, invece, se si avvia bene, converge più rapidamente del metodo di

bisezione (la convergenza è quadratica). Come estremo di partenza si prende quello in cui

la funzione e la sua derivata seconda hanno lo stesso segno.

In pratica:

(Supponiamo che f(a)*f"(a) > 0)

a

1) Ricordando che f ' rappresenta

il coefficiente angolare della retta tg. a f(x) in a,

l'equazione della retta tg. a f(x) in a è:

a  a

y= f ' x−a f

Se ora imponiamo y = 0 e risolviamo in x otteniamo

l'ascissa in cui la retta tg. si annulla, chiamiamola r 1

a 

f

=a−

r 1 a

f '

2) A questo punto possiamo pensare di ripetere

il procedimento utilizzando r al posto di a:

1

r  −r  r 

y= f ' x f

1 1 1

Imponiamo y = 0, risolviamo in x chiamandola r 2

 

f r

=r − 1

r r 

2 1 f ' 1

3) Generalizzando le osservazioni fatte

otteniamo la seguente regola induttiva:

=a

r 0 r 

f n−1

=r −

r r 

n n−1 f ' n−1

In questo caso ( f(a)*f"(a) > 0) le varie "r successive" (r ) formano una successione

i

crescente limitata e approssimano la radice per difetto. Il limite per n->∞ è la radice

dell'equazione esaminata. Se fosse stata f(a)*f"(a) < 0 allora r sarebbe stata "b" e le

0

varie "r successive" (r ) avrebbero formato una successione decrescente limitata e

i

avrebbero approssimato la radice per eccesso. Il limite per n->∞ sarebbe comunque stato

uguale alla radice dell'equazione esaminata.

Generalmente, usando il metodo delle tangenti, ci si ferma quando |r r | ≤ ε, anche

n – n-1

se ciò non vuol necessariamente dire che la soluzioni disti effettivamente al più "ε"; più

avanti vedremo un modo migliore per calcolare l'approssimazione.

Le secanti

Congiungiamo i 2 estremi:

Il metodo delle secanti (detto anche metodo delle corde) consiste nell'approssimare una

curva alla sua retta secante passante per i punti individuati dai valori che essa assume agli

estremi di un intervallo contenente la soluzione; per poterlo usare bisogna che f(x), f"(x)

esistano e siano continue in [a,b] e che f'(x) e f"(x) siano diverse da zero in [a,b].

Questo metodo potrebbe non convergere se si parte da un valore di "x" troppo lontano

dalla radice. Rispetto al metodo delle tangenti qui la convergenza è più lenta. Come

estremo di partenza si prende quello in cui la funzione e la sua derivata seconda hanno

segno opposto.

In pratica:

(Supponiamo che f(a)*f"(a) > 0)

 y

1) Ricordando che rappresenta

 x

il coefficiente angolare di una retta,

l'equazione della retta contenente la corda ab è:

b− a 

f f  −b  

y= x f b

b−a

Se ora imponiamo y = 0 e risolviamo in x otteniamo

l'ascissa in cui la corda interseca l'asse x, chiamiamola r 1

bb−a 

f

=b−

r b − a

1 f f

2) A questo punto possiamo pensare di ripetere

il procedimento utilizzando r al posto di b:

1

 − 

f r f a

1   r 

y= x−r f

−a 1 1

r 1

Imponiamo y = 0, risolviamo in x chiamandola r 2

r r −a

f 1 1

=r −

r r − a 

2 1 f f

1

3) Generalizzando le osservazioni fatte

otteniamo la seguente regola induttiva:

=b

r 0

 r −a

f r −1

n−1 n

=r −

r  − a

n n−1 f r f

n−1

In questo caso ( f(a)*f"(a) > 0) le varie "r successive" (r ) formano una successione

i

decrescente limitata e approssimano la radice per eccesso. Il limite per n->∞ è la radice

dell'equazione esaminata. Se fosse stata f(a)*f"(a) < 0 allora r sarebbe stata "a" e le

0

varie "r successive" (r ) avrebbero formato una successione crescente limitata e avrebbero

i

approssimato la radice per difetto. Il limite per n->∞ sarebbe comunque stato uguale alla

radice dell'equazione esaminata.

Come per il metodo delle tangenti, ci si ferma, generalmente, quando |r r | ≤ ε,

n – n-1

anche se ciò non vuol necessariamente dire che la soluzioni disti effettivamente al più "ε";

più avanti vedremo un modo migliore per calcolare l'approssimazione.

Programma esemplificativo "Secanti"

A cosa serve:

Questo programma consente di disegnare il grafico di una qualsiasi funzione continua

(in un intervallo) e di calcolarne una soluzione approssimata col metodo delle Secanti.

Il programma consente inoltre di vedere graficamente come "lavora" tale metodo.

Calcolo della soluzione:

Le textBox "A" e "B" servono a definire l'intervallo nel quale cercare la soluzione (ci

deve essere solo una soluzione in [a,b]), la textBox "epsilon" serve per definire

l'approssimazione, l'algoritmo si fermerà quando 2 soluzioni trovate consecutivamente

distano al massimo epsilon (ATTENZIONE: questo non vuol necessariamente dire che la

soluzione esatta dista + o - epsilon da quella trovata). Il pulsante "Calcola" serve per

trovare la soluzione approssimata.

Interpretazione grafica:

Una volta calcolata la soluzione, facendo scorrere la scroll-bar "Visualizza passaggi", il

programma visualizzerà graficamente i passaggi svolti dall'algoritmo.

In questa fase il segmento blu indica la corda che si

sta usando per trovare la soluzione e il segmento

arancione indica il punto dove l'equazione della retta alla

quale la corda appartiene si annulla e quindi il nuovo

estremo per disegnare la prossima corda.

Al passaggio successivo sarà tracciata una nuova

corda che andrà dall'estremo "fisso" al nuovo estremo

appena individuato.

Uso:

1. Impostare i parametri che si desiderano tenendo presente che:

La funzione deve essere CONTINUA in ("X minima","X massima"), se così non

○ fosse il grafico potrebbe presentare imprecisioni

"X minima" deve essere > di "X massima" ecc.

○

2. Cliccare su "Disegna" per disegnare la funzione, servendosi eventualmente del

grafico impostare i parametri in modo che:

A sia < di B

○ [A,B] soddisfi il Teorema degli Zeri

○ L'intervallo [A,B] contenga solo una soluzione

○ La funzione si mantenga sempre concava verso l'alto o verso il basso in (A,B)

○ I radioButton "Concavità in (A,B)" rispecchino le caratteristiche di concavità

○ della curva

3. Cliccare su "Calcola" e attendere la finestra che mostra il risultato, a questo punto si

potrà visualizzare graficamente come lavora il metodo usato servendosi della scroll-

bar "Visualizza passaggi"

Tangenti + Secanti

2 è meglio di 1:

Come si è fatto già notare quando f(a)*f"(a) > 0 otteniamo, usando il metodo delle

tangenti, una soluzione approssimata per difetto mentre col metodo delle secanti il

risultato sarà una soluzione approssimata per eccesso (se f(a)*f"(a) < 0 la situazione è

inversa).

Il legame tra i due metodi è molto forte, basti pensare che se prendiamo la formula

ricorsiva del metodo delle tangenti, sostituiamo alla derivata il coefficiente angolare:

 b− a 

y f f

=

m=  b−a

x

Poi invertiamo l'estremo da cui iniziamo (per esempio se r = a => r = b) e

0(tg.) 0(sec.)

conseguentemente cambiamo il valore di "a" o "b" nella formula ottenuta (se

r = a => b = r e se r = b => a = r ) quello che otteniamo è proprio il

0(tg.) (sec.) n-1 0(tg.) (sec.) n-1

metodo delle secanti.

Dato che i due procedimenti hanno le stesse ipotesi, nulla ci vieta di usarli

contemporaneamente, in questo modo potremmo valutare l'approssimazione dello Zero in

maniera migliore, infatti basterà chiedersi quando il risultato trovato col metodo delle

tangenti disti al più ε dal risultato trovato col metodo delle secanti. In simboli:

|r – r | ≤ ε (dove r è la radice trovata con le tangenti e r con le secanti).

t s t s

Integrazione numerica

Perché:

Perché c'è bisogno di un metodo di integrazione numerico se, grazie al T. Fondamentale

del calcolo integrale, sappiamo calcolare il valore degli integrali definiti?

La risposta è semplice: perché ci sono funzioni delle quali non è possibile trovare la

primitiva (ad esempio e

-x^2

).

Esistono anche altre situazioni nelle quali il T. Fondamentale del calcolo integrale non

c'è di aiuto, pensiamo ad esempio di non conoscere l'espressione analitica della funzione

"f" della quale vogliamo calcolare l'integrale, ma di conoscere solo i valori che essa assume

in un certo numero di punti rilevati sperimentalmente; oppure pensiamo di conoscere solo

il grafico di "f", magari tracciato mediante opportuni strumenti (sismografi ecc.).

In generale possiamo così formalizzare il processo di risoluzione di alcuni problemi del

mondo reale:

1. Modellizzazione (si associa al problema un modello matematico che ne

approssima l'evoluzione)

2. Analisi del modello per ricavare proprietà qualitative della soluzione (esistenza,

unicità, regolarità, ecc.)

3. Individuazione di metodi di risoluzione efficienti

4. Implementazione del metodo di risoluzione su calcolatore

L'analisi numerica interviene alle fasi 2-3-4, facendo da "assistente" per il ricercatore,

l'ingegnere o, nel caso che vedremo ora, il fisico.

Mettiamoci quindi nei panni di un fisico che vuole calcolare il lavoro compiuto, da "a" a

"b", da una forza "f(x)" costante in direzione ma variabile in modulo con la distanza.

Sappiamo che tale lavoro è esprimibile come:

b

∫  

f x dx

a

Dove x rappresenta lo spostamento. Se, come abbiamo detto prima, di f(x) sappiamo

solo alcuni valori che abbiamo trovato con degli esperimenti e non l'espressione analitica,

per calcolare il lavoro dobbiamo necessariamente ricorrere ad un metodo numerico.

Come:

In generale si procede così:

1. Si suddivide [a,b] in un certo numero di parti uguali (per comodità ma non

necessariamente)

2. Si cerca in ciascuno degli intervalli una "funzione approssimante"

3. Integriamo tale funzione nell'intervallo

4. Sommiamo tutti i valori ottenuti

Il metodo dei rettangoli

Semplifichiamoci la vita:

In questo metodo si sceglie come funzione approssimante un polinomio di grado 0, che

in ogni intervallo ha per grafico una retta parallela all'asse delle ascisse.

In pratica:

Supponiamo di dover calcolare:

b

∫  dx

f x

a

1) Dividiamo [a,b] in n parti uguali di ampiezza:

b−a

h= n

otteniamo così dei sotto-intervalli identificati dai punti:

=a =ah =a2h =anh=b

x , x , x x

0 1 2 n

2) Consideriamo ora come funzione approssimante

[ ]

la funzione g tale che in ogni intervallo x , x

i i1

 =  

g x f x i

3) Il valore dell'integrale è dato dalla somma

delle aree (contando il segno) degli n rettangoli

 ,

di base h e di altezza f x formalizzando il tutto:

i

n−1 n

∑ ∑

=h⋅   =h⋅  

I f x oppure I f x

i i

=1

i=0 i

Si nota subito che:

b

n

∑ ∫

 =  

lim h⋅ f x f x dx

i

∞

n i=1 a

Che è il valore esatto dell'integrale.

Nella spiegazione abbiamo scelto g(x) = f(x ) ma nulla ci vieta di scegliere g(x) = f(ξ )

i i

cioè scegliere come funzione approssimante una funzione che assume in ogni intervallo

[x ,x ] un valore a scelta fra quelli assunti nello stesso intervallo da f(x). In questo modo

i i+1

abbiamo risolto il problema del fisico che, al

posto di avere l'espressione analitica della sua

funzione "forza", ha solo i valori che essa

assume in determinati punti.

L'errore "e" che commettiamo con questo

metodo dipende ovviamente dall'n scelto ed è

stimabile come:

2

 b−a ∣ ∣

⋅ = 

e≤ f ' , con f ' max f ' x

M M

2n ≤x≤

x x

o n

Programma esemplificativo "Integrale"

A cosa serve:

Questo programma consente di disegnare il grafico di una qualsiasi funzione continua

(in un intervallo) e di calcolarne l'integrale definito, con una certa approssimazione,

attraverso il metodo dei rettangoli.

Il programma consente inoltre di vedere graficamente come "lavora" il metodo di

integrazione usato.

Calcolo dell'integrale definito:

Il programma calcola l'integrale definito sfruttando il metodo dei rettangoli inscritti e

circoscritti.

Le textBox "A" e "B" servono a definire l'intervallo nel quale calcolare l'integrale,