Parabola e fascio proprio di rette

Per questo problema si useranno equazioni semplici, per far si che vengano calcoli altrettanto facili e comprensibili.

Qualora altri problemi, dello stesso tipo, presentassero calcoli più complessi, non temete: il procedimento rimane tale e quale, e nell'equazione finale molti termini probabilmente si semplificano.

Data la parabola di equazione

trovare la retta del fascio con centro nell'origine, che intersechi la parabola formando una corda di lunghezza

Intanto identifichiamo l'equazione del fascio con centro nell'origine. E' noto che essa è

Intersecando la parabola con il fascio, troveremo delle soluzioni (coordinate dei punti) dipendenti dal parametro

Procedendo per confronto, otterremo

risolvendo rispetto a x

e

Queste sono le ascisse dei due punti.

A questo punto, non serve trovare le ordinate, perchè possiamo usare un'utile formula pre la distanza, che è

In questo caso, le ascisse ci sono note (le abbiamo ricavate dal sistema) e il coefficiente angolare della retta cui appartengono è

La distanza imposta è

Procediamo

che dopo qualche banale calcolo, e una quadratura, restituisce

ponendo

che ha per soluzioni

la prima è da scartare, la seconda ci porta a dire che

Sostituendo tali valori nel fascio inziale

FINE