Programma per risolvere equazioni algebriche di grado elevato

Daniele Grassucci
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Il presente eseguibile è dedicato alla risoluzione di equazioni algebriche di grado anche superiore al 4°, e aventi coefficienti costituiti da numeri interi o decimali, sia negativi che positivi....

In genere le equazioni di grado superiore al secondo non sono mai banali da risolvere.
Il presente eseguibile è pertanto dedicato alla risoluzione di equazioni algebriche di grado anche superiore al 4°, e aventi coefficienti costituiti da numeri interi o decimali, sia negativi che positivi. Si possono pertanto calcolare e trovare tutte le radici sia reali che complesse coniugate di una equazione algebrica di qualsiasi grado a partire dal 2° sino ad arrivare a gradi elevati ( 10°, 20°, 30°, 40°, ... ).
Si tenga presente che la precisione dei valori ottenibili per le radici dipende sia dal grado sia dai valori numerici dei coefficienti dell'equazione: più è elevato il grado dell'equazione e grande il numero di cifre che compongono i valori numerici dei coefficienti, minore sarà la precisione ottenibile per le radici dato che si opera con un aritmetica limitata alla doppia precisione. Per le equazioni di 3° e 4° grado i valori trovati per le radici possono essere confrontati con quelli calcolati tramite le formule classiche relative alla soluzione per radicali. Per l'illustrazione e la spiegazione dell'algoritmo utilizzato e la conseguente realizzazione del relativo programma si rimanda alla consultazione del seguente articolo:

La risoluzione di equazioni algebriche di grado elevato, pubblicato nella sezione Approfondimenti.

Scarica da qui il file eseguibile

Esercizi svolti sulle equazioni Tuttavia, per completezza, vediamo anche un ulteriore metodo utilizzato per risolvere equazioni di grado superiore al secondo, utilizzabile solo in determinate situazioni.

Metodo di Ruffini

Il metodo (o regola) di Ruffini si può utilizzare per risolvere un'equazione di grado superiore al secondo.
Per l'algoritmo nel dettaglio, cliccare qui.
Il metodo di Ruffini suppone però di "indovinare" una soluzione dell'equazione, e, in un certo senso, questo va "contro" lo spirito dell'equazione, che va risolta e non bisogna di certo indovinare una soluzione! Per questo, a volte, è necessario ricorrere ad approcci numerici come quello proposto di sopra.
Tuttavia, questo metodo risulta utile per abbassare il grado di un'equazione fino a un certo grado nel quale si possono applicare delle formule note.
Vediamo un'esempio, risolviamo ora l'equazione:
[math] 3x^3-8x^2-7x+12 = 0 [/math]
Per il teorema fondamentale dell'algebra le soluzioni di un'equazione di terzo grado sono 3.
Supponiamo inoltre di essere fortunati e di "indovinare" la soluzione
[math] x = 1 [/math]
, perché sostituita all'equazione essa restituisce:
[math] 3 \cdot 1^3- 8 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 12 = 0 [/math]
Applicando la regola di Ruffini (nel link un po' di righe sopra) si trova che:
[math] 3x^3-8x^2-7x+12 = (x-1)(3x^2-5x-12) = 0 [/math]
Resta da risolvere l'equazione
[math] 3x^2-5x-12 = 0 [/math]
, di cui è nota la formula risolutiva!
Si ha infatti:
[math] x = \frac{5 \pm 13}{6} \to x_1 = 3, x_2 = -\frac{4}{3} [/math]
Dunque le tre soluzioni sono:
[math] 3, -\frac{4}{3}, 1 [/math]
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