Successioni reali e limite di successione

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Successioni reali e limite di successioni

La prima classe di funzioni di notevole interesse è costituita dalle successioni reali, ovvero dalle funzioni x: ℕ → ℝ che ad ogni numero naturale n assegnano un ben preciso numero reale x(n), che viene anche denotato con x_n, ed è detto termine generale della successione.

Una successione di termine generale x_n può quindi essere concepita, in base alla definizione, come una “sequenza” infinita di numeri reali: da ciò deriva il termine successione.

Limite di successioni

Il concetto di limite è il concetto chiave dell’intera Analisi Matematica. Storicamente l’idea di limite è molto antica, ma la sua formalizzazione attuale risale a meno di 200 anni fa. Inoltre, il primo concetto di limite a farsi strada fu quello di funzioni definite sui numeri reali, e non solo sui numeri naturali.

Tuttavia è molto più semplice dare la definizione di limite di successioni, e poi, in un secondo momento, ricavare la definizione di limite di funzioni. L’idea del limite di successioni è quella di studiare il comportamento della successione quando n diventa arbitrariamente grande.

È di notevole interesse cercare di capire se x_n tende a stabilizzarsi vicino ad un certo numero reale, oppure tende ad essere grandissimo, o ancora ha un comportamento oscillatorio.

Sia x_n il termine generale di una successione reale, più brevemente: sia x_n una successione reale, e sia ℓ ∈ ℝ; si dice che

lim_n→+∞ x_n = ℓ

se per ogni ε > 0 esiste ν ∈ ℕ tale per cui per ogni n ≥ ν si ha |x_n − ℓ| < ε.

In questa definizione si sta dicendo che il termine generale x_n è vicino al numero ℓ a meno di un errore ε > 0 piccolo quanto si vuole, a patto che n sia abbastanza grande. Si dice anche che x_n tende ad ℓ per n che tende a +∞, e si scrive anche x_n → ℓ per n → +∞. In questo caso la successione x_n si dice anche convergente.

Esempio: x₀ = 1 e x_n = 1/n per n ≥ 1; allora si ha lim_n→+∞ x_n = 0.

Quello che basta verificare è l’esistenza di ν come da definizione. Se dovrà essere |x_n − 0| < ε, allora dovrà essere 1/n < ε, ovvero n > 1/ε.

Basta quindi scegliere, per esempio, ν come il primo numero naturale tale per cui ν > 1/ε; allora si ha che per ogni ε > 0 esiste ν ∈ ℕ tale che se n ≥ ν si ha proprio 1/n < ε, che equivale a |x_n − 0| < ε.

Si dice invece che

lim_n→+∞ x_n = +∞