Numeri naturali: teoria, operazioni e applicazioni

In questo appunto di matematica sono presentati i numeri naturali con una panoramica sia sulla loro definizione e rappresentazione, sia sulle possibili applicazioni in campo matematico. In prticolare vengono definite e descritte le principali operazioni aritmetiche: addizione, sottrazione, divisione e moltiplicazione. Nel testo è possibile trovare un'accenno anche alle potenze, e alle sue relative proprietà, al Massimo Comune Divisore (MAD) e al minimo comune multiplo (mcm).

I numeri naturali

L’insieme dei numeri naturali è infinito e si indica con il simbolo N
Per rappresentare i numeri naturali si usano le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mentre per indicarli in modo simbolico le lettere n, m, k, p…
Il numero è primitivo, ovvero qualcosa che non può essere ricondotto a concetti o termini più semplici.
Lo zero non è proprio un “numero”, ma una nostra comoda convenzione che indichiamo con il simbolo 0.

Il numero contiene due diversi caratteri:

• Carattere Cardinale: quando i numeri servono per confrontare insiemi contenenti oggetti distinti
• Carattere Ordinale: quando i numeri servono per indicare l’ordine con cui si presentano gli oggetti in un insieme

Per ulteriori approfondimenti sui numeri naturali vedi anche qua

Le operazioni con i numeri naturali

In matematica si può parlare di operazione quando, lavorando con gli elementi di un insieme, si ottiene un elemento dello stesso insieme.
Chiamiamo operazione interna in un insieme ogni legge che permette di associare a due elementi m e n dell’insieme un terzo elemento p dell’insieme, che è il risultato dell’operazione.

Ordinamento in N

Se m,n sono due qualsiasi numeri naturali si dice che m è maggiore di n, e si scrive m>n, se esiste un numero naturale p, diverso da zero, tale che m=n+p.

Proprietà transitiva:
Se m>n e n>p allora è anche m>p.
L’insieme N è ordinato, infatti si dice che m≥n (si legge “m maggiore o uguale a n”), se è soddisfatta una delle due relazioni:
m>n oppure m=n.

Addizione

L'addizione è un’operazione interna in N, i suoi termini vengono definiti Addendi.
Risultato: somma
Simbolo: +
Proprietà:

• commutativa: m+n=n+m
• associativa: (m+n)+p=m+(n+p)
• lo 0 è l’elemento neutro rispetto all’addizione: n+0=0+n=n

Sottrazione

La sottrazione non è un’operazione interna ad N perché si può fare solo quando il primo termine non è minore del secondo.
Un numero p è la differenza di due numeri m e n, se e soltanto se p sommato a n dà m (m-n=p, se e solo se m=p+n ).

I suoi termini venfgono definiti minuendo e sottraendo.

Risultato: differenza
Simbolo: -
Proprietà:

• invariantiva: m-n=(m+p)-(n+p) oppure m-n=(m-p)-(n-p)
• distributiva: p x (m-n)=p x m-p x n

Moltiplicazione

La moltiplicazione è un’operazione interna in N: il prodotto di due numeri naturali è sempre un numero naturale, i suoi termini sono definiti Fattori.
Risultato: prodotto
Simboli: × oppure

Proprietà:

• commutativa: m x n=nxm
• associativa: (mxn)xp=m x (nxp)
• distributiva rispetto all’adizione:n x (m+p)=n x m+n x p
• elemento neutro: n x 1=1 x n=n. 1 è elemento neutro rispetto alla moltiplicazione
• elemento assorbente: 0. Infatti n x 0=0 x n= 0

Divisione

La divisione non è un’operazione interna ad N, i suoi termini sono il dividendo e il divisore.
Dati tre numeri naturali m,n,q diversi da 0, il numero q è il risultato della divisione di m per n se e solo se m è il prodotto di q e n: m:n=q, se e solo se m=qxn
Risultato: quoziente
Simbolo: :
Proprietà:

• invariantiva n:0=impossibile, 0:m=0, 0:0=quoziente indeterminato

Le potenze

a= base
k= esponente

Ogni numero naturale a può essere scritto come potenza di base a ed esponente 1.

Proprietà delle potenze:

1. Il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti:
   [math]a^m\cdot a^n=a^(m+n)[/math]
2. Il quoziente di due potenze è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:
   [math]a^m:a^n=a^(m-n)[/math]
3. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti:
   [math](a^m)^n=a^(m\cdot n)[/math]
4. Il prodotto tra due o più potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente:
   [math]a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n[/math]
5. Il quoziente tra due potenze aventi gli stessi esponenti è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente:
   [math]\frac {a^n}{b^n} = \frac{a}{b}^n[/math]

I numeri primi

I numeri primi sono i numeri naturali, maggiori di 1, divisibili solo per 1 e per se stessi.
Si dice composto un numero naturale maggiore di 1 che non sia primo. I numeri primi sono infiniti.

Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle potenze vedi anche qua

Criteri di divisibilità

Ogni numero naturale può essere scomposto in uno e un sol modo nel prodotto di numeri primi

Un numero è divisibile…

• Per due: se la sua ultima cifra è 0, 2, 4, 6, 8
• Per tre: se la somma delle sue cifre è divisibile per tre
• Per quattro: se le sue ultime due cifre sono due zeri o un multiplo di 4
• Per cinque: se la sua ultima cifra è o 0 o 5
• Per otto: se le sue ultime tre cifre sono tre zeri o u multiplo di 8
• Per nove: se la somma delle sue cifre è divisibile per 9
• Per undici: se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma di quelle di posto dispari è zero o è divisibile per 11
• Per venticinque: se le sue ultime due cifre sono due zeri o un multiplo di 25

Massimo Comun Divisore (MCD) e minimo comune multiplo (mcm)

Il Massimo Comun Divisore (MCD) di due o più numeri è il più grande dei loro divisori comuni. Se il MCD tra due numeri è 1, essi sono primi tra loro.
Il minimo comune multiplo (mcm) tra due o più numeri è il più piccolo dei loro multipli comuni.

Per determinare il MCD (a,b) e il mcm (a,b):

• Si scompongono i numeri a e b in fattori primi
• Per il MCD, si calcola il prodotto dei fattori primi comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente
• Per il mcm, si calcola il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente