Calcolo letterale - Guida alle operazioni e scomposizioni dei polinomi

Questo appunto è una guida alla scomposizione dei polinomi e alle relative operazioni che si possono fare con essi; in generale si tratta di una guida al calcolo letterale, spesso utile (e di grande importanza) per risolvere algebricamente dei quesiti matematici.

Premessa

In particolare, un polinomio composto dalla somma/differenza di due monomi è detto binomio, di tre monomi è detto trinomio.
Un polinomio è ridotto in forma normale, quando non è possibile eseguire alcuna operazione sui monomi che lo compongono (e pertanto i suoi termini sono tutti monomi non simili).
Il monomio di grado zero (ovvero quello senza parte letterale in cui, cioè la parte letterale è considerata elevata alla zero) è detto termine noto.

Se esiste, è unico (infatti in caso di più termini noti è possibile ulteriormente sommarli/sottrarli)
Un polinomio è detto omogeneo, se tutti i monomi che lo compongono sono dello stesso grado.
Ad esempio

è un polinomio omogeneo di terzo grado.
Un polinomio può essere espresso secondo una sola variabile: ad esempio

è un polinomio in cui viene considerata variabile solo la a. Questo significa che la b viene trattata come costante.

Particolarità dei polinomi in una sola variabile

Un polinomio in una sola variabile (o espresso in una sola variabile) è detto ordinato se i monomi sono scritti a partire dalla variabile con esponente più alto via via decrescendo.
Per esempio

è un polinomio in una sola variabile (y) ordinato,

è un polinomio espresso in una sola variabile (x) e ordinato rispetto ad essa.
Il termine noto, dunque, nel caso di un polinomio espresso in funzione di una variabile, sarà tutto ciò in cui la variabile non compare (ovvero è elevata alla zero).
Se il grado massimo della variabile (unica o espressa) presenta coefficiente 1, il polinomio si dice monico.
Se i gradi della variabile sono tutti presenti (compreso quello di grado zero, ovvero il termine noto) il polinomio è detto completo. Ad esempio,

è un polinomio completo nella variabile a.

Grado del polinomio

Il grado del polinomio è dato dal grado più alto tra i monomi, ad esempio

è di settimo grado in quanto i tre monomi hanno grado rispettivamente 3, 4, 7.
Anche qui bisogna considerare l'eventuale espressione di una variabile.
Lo stesso polinomio, ma scritto come

presenta tre monomi con grado parziale (rispetto ad a) rispettivamente 2,4 e 0, e pertanto il grado di

sarà 4.

Moltiplicazione di monomio per polinomio

Si tratta di una moltiplicazione di un fattore (monomio) per una somma (polinomio).
Si ricordi, a tale proposito, la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

Pertanto moltiplicare un monomio per un polinomio, significherà moltiplicare quel monomio, per ogni singolo addendo del polinomio. Ad esempio

.

Somma di polinomi

Sommare due polinomi (ovvero sommare due somme algebriche) significa semplicemente sommare i monomi simili (e solo i monomi simili) appartenenti alla somma dei polinomi.
Si ricordi, invece, che sottrarre a un polinomio un altro, significherà cambiare di segno tutti i monomi del polinomio sottratto. Ad esempio

.

Prodotto di polinomi

Qui si ricordi la proprietà distributiva della moltiplicazione, da applicare in due passaggi analoghi:

, e a questo punto riapplicandola si ottiene:

Banalmente, quindi, bisognerà moltiplicare il primo monomio del primo polinomio per tutti i monomi del secondo, poi il secondo monomio del primo polinomio per tutti i monomi del secondo e così via... ad esempio

Metodi di scomposizione di un polinomio

Scomporre un polinomio vuol dire riscrivere la somma dei monomi come moltiplicazione tra polinomi di grado inferiore ovvero tra monomi e polinomi. La stessa cosa viene fatta con i numeri quando, ad esempio, riscriviamo

come prodotto di

.

• Raccoglimento a fattore comune Si tratta di applicare la proprietà distributiva al contrario.
  
  [math] a (b+c)= ab+ac [/math]
  E quindi è vero che
  [math] ab+ac=a(b+c) [/math]
  Quindi, una volta individuato il/i fattore/i comune/i, potremmo raccoglierlo ed esplicitarlo come fattore di un polinomio (ridotto). Ad esempio in
  [math]ab+5ab^2[/math]
  il fattore comune è
  [math]ab[/math]
  . Quindi il tutto si riscrive come
  [math]ab(1+5b)[/math]
  .
• Raccoglimento a fattore parziale Molto simile al raccoglimento a fattor comune, tale operazione può essere effettuata solo su polinomi composti da un numero pari di monomi.
  Una volta raccolto un fattore (parzialmente comune a gruppi di monomi) si raccoglie (se esiste) ulteriormente il fattore comune.
  Ad esempio
  [math]2x^2+x+2xy+y = x(2x+1)+y(2x+1) = (x+y)(2x+1) [/math]
  .
• Metodo di somma e prodotto (detto anche trinomio particolare di secondo grado) Si applica solo ai trinomi completi di secondo grado (ed è di veloce intuizione solo per i trinomi a una variabile).
  Consiste nel trovare i due valori che sommati diano il coefficiente del termine di primo grado e moltiplicati il termine noto.
  Se il polinomio è monico:
  
  [math] x^2+sx+p [/math]
  dove "s" e' la somma e "p" il prodotto di due valori y e z allora possiamo riscrivere il trinomio come
  [math] (x+y)(x+z) [/math]
  Ad esempio, consideriamo il polinomio
  [math] x^2+5x+6 [/math]
  . Bisogna trovare due numeri che sommati danno 5 e moltiplicati danno 6. Tali numeri sono 2, 3. Infatti
  [math] x^2+5x+6 = (x+2)(x+3) [/math]
  .

Prodotti notevoli

Esistono alcuni prodotti, detti notevoli perché di facile individuazione, utili alla scomposizione. Vediamone alcuni:

• Differenza di quadrati:
  [math] (a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2 [/math]
  . Quindi ad esempio è possibile scomporre il polinomio
  [math]4a^2-b^4[/math]
  come
  [math](2a-b^2)(2a+b^2)[/math]
  .
• Quadrato di un binomio: In generale vale
  [math] (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 [/math]
  e
  [math] (a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2 [/math]
  .
  Dunque se ci troviamo davanti ad un trinomio, su cui non è possibile effettuare raccoglimento a fattore comune (né ovviamente a fattore parziale dal momento che i monomi sono dispari) dovremo verificare se esistono 2 monomi che possano essere il quadrato di altri due monomi e, in caso affermativo, se il terzo monomio è il prodotto di questi due monomi per 2 (doppio prodotto). Ad esempio nel polinomio
  [math]25x^2+y^4-10xy^2[/math]
  i monomi
  [math]25x^2, y^4[/math]
  sono i quadrati dei monomi
  [math]5x, y^2[/math]
  . Il polinomio si scompone infatti come
  [math](5x-y^2)^2[/math]
  .
  Analogamente si può procedere per le potenze superiori, i cui coefficienti sono determinati dal triangolo di Tartaglia.
  Per approfondimenti sul triangolo di Tartaglia, vedi anche qua.
  
• Somma e differenza di cubi: Valgono le identità
  [math] (a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2) [/math]
  e
  
  [math] (a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2) [/math]
  .
  I trinomi di secondo grado sono detti entrambi "falsi quadrati" per la forte somiglianza con lo sviluppo del quadrato del binomio.
  Queste quantità mancano, come evidente, del doppio prodotto e non sono scomponibili.

Per approfondimenti sui prodotti notevoli vedi anche qua

Scomposizione di Ruffini

La scomposizione a mezzo della divisione di Ruffini permette di individuare un divisore del polinomio. una volta eseguita la divisione, dunque, otterremo un prodotto tra un binomio ed un polinomio di un grado inferiore a quello originario.
Per capire bisogna procedere con un paio di esempi.
Dato il polinomio:

Creiamo un insieme di tutti i fattori del termine noto:

Calcoliamo dunque il polinomio, sostituendo alla x ogni fattore, fino a trovare (se esiste) quello che annulla il polinomio

Dal momento che

azzera il polinomio, vuol dire che il polinomio e' divisibile per

A questo punto "abbassiamo" l'1

Moltiplichiamo l'1 per il divisore (1) riportando il risultato sotto il termine successivo (il -3)

sommiamo i numeri in colonna

rimoltiplichiamo -2 per 1 e procediamo analogamente fino alla fine.

Quello zero è il resto. Dal momento che sapevamo che il polinomio era divisibile per

, il resto che ci aspettavamo era proprio zero. Se così non dovesse essere, probabilmente c'è stato un errore di conto.
I valori elencati nella parte bassa della griglia, rappresentano i coefficienti del polinomio risultato della divisione.

8, pertanto, sarà il termine noto, -4 il coefficiente del termine di primo grado e così via.
Il polinomio iniziale, dunque, potrà essere scritto come

Il polinomio trovato può essere di nuovo scomposto con Ruffini.

I fattori saranno

il polinomio si annulla per

(ad esempio), cioè

, eseguiamo di nuovo la divisione di Ruffini e otteniamo:

E dunque il polinomio sarà

si può scomporre come differenza di quadrati (vedi sopra), non è necessario applicare la regola di Ruffini. Quindi

.

Vediamo un altro esempio:

Per poter eseguire la scomposizione di Ruffini, dal momento che si presentano più variabili, bisognerà sceglierne una.

Scegliamo la x (e pertanto y dovrà essere trattata come costante ovvero come fosse un numero)
Scriviamo il polinomio in modo ordinato rispetto alla

Il termine noto, dunque, sara'

ovvero la parte in cui

non compare. I fattori saranno dunque:

Sostituiamo come fatto in precedenza, fino a trovare il valore che annulla il polinomio.
Notiamo che y e' un valore di questi:

Eseguiamo la divisione di Ruffini

Pertanto il polinomio potrà essere scomposto in

Attenzione! Se il polinomio non presenta tutti i termini, ricordarsi sempre di inserire 0 dove il termine non c'è.
Ad esempio nel polinomio

L'insieme dei fattori sarà:

Il polinomio si annulla per

, dunque la griglia di Ruffini sara'

E dunque il polinomio scomposto sara':

Minimo comune multiplo tra polinomi

Come per i numeri e i monomi, al fine di calcolare il minimo comune multiplo tra due polinomi, e' necessario:

• scomporre i polinomi in fattori primi;
• considerare i fattori comuni una sola volta con l'esponente maggiore con cui si presenta;
• considerare i fattori non comuni presi ciascuno senza alcuna modifica.

Ad esempio, calcoliamo il minimo comune multiplo tra:

• [math] p(x)=4x^2+18x+9 [/math]
• [math] q(x)=2x^2+3x [/math]
• [math] r(x)=4x^4-9x^2 [/math]
• [math] s(x)=-3-2x [/math]

Scomponiamo i quattro polinomi:

• [math] p(x)=(2x+3)^2 [/math]
  (quadrato di un binomio)
• [math] q(x)=x(2x+3) [/math]
  (raccoglimento a fattore comune (x))
• [math] r(x)=x^2(4x^2-9)=x^2(2x+3)(2x-3) [/math]
  (raccoglimento a fattore comune (
  [math]x^2[/math]
  ) e differenza di quadrati)
• [math] s(x)=-(3+2x) [/math]
  (raccoglimento a fattore comune (-1)

Consideriamo i fattori comuni:

• [math] x [/math]
  (comune a q(x) e r(x)) dovra' essere preso una sola volta con esponente massimo (2)
• [math] (2x+3) [/math]
  (comune a p(x), q(x), r(x) e s(x)) dovra' essere preso una sola volta con esponente massimo (2)
• Rimangono ancora i fattori
  [math](2x-3)[/math]
  e
  [math]-1[/math]
  rispettivamente solo a r(x) e s(x).
Il minimo comune multiplo sarà dunque:
[math] x^2(2x+3)^2 \cdot(-1) \cdot (2x-3)=-x^2(2x-3)(2x+3)^2 [/math]

Massimo comune divisore

Analogamente a quanto previsto per il minimo comune multiplo, il massimo comun divisore sarà composto dal prodotto di tutti i fattori comuni a tutti i polinomi, presi una sola volta con esponente più basso.
L'unico fattore comune a tutti e 4 i polinomi dell'esempio precedente è

che pertanto sarà il massimo comun divisore.
Se non esiste alcun fattore comune, il MCD sarà 1 e i polinomi si diranno essere primi tra loro (cosi' come accade per i numeri).

Divisione tra polinomi

La divisione di un polinomio per un altro, si esegue (ovvero ha significato) se il polinomio divisore e' di grado non superiore al polinomio dividendo.
Il metodo di calcolo e' analogo a quanto previsto dalla divisione tra numeri.
Ad esempio supponiamo di voler calcolare

.
Mettere in colonna l'operazione:

Verificare "quante volte" il monomio di grado massimo del divisore (2x) sta nel monomio di grado massimo del dividendo (

)

Riportare il risultato nel campo del risultato

Moltiplicare il risultato ottenuto per il divisore

In caso di assenza di tutti i termini (ovvero se il polinomio non è completo) si consiglia l'inserimento di 0 dove e' assente il grado della variabile.

Eseguire dunque la sottrazione tra il dividendo e

Ripetere da principio, dividendo il risultato della differenza per il divisore (sempre considerando SOLO le variabili con esponente piu' alto)

Moltiplicare dunque

per il divisore

e riportare il risultato della moltiplicazione, opportunamente incolonnato, sotto il nuovo divisore

Eseguire nuovamente la differenza e continuare fino a quando il nuovo divisore non sara' di grado inferiore al dividendo (nell'esempio, quando dunque il risultato della differenza sara' di grado zero (ovvero un numero))

Pertanto il risultato della divisione sara'

con il Resto di

Se il resto è zero significa che il polinomio dividendo è multiplo del divisore.
Se si esegue in colonna, ad esempio, una divisione secondo i metodi di scomposizione di Ruffini, si otterrà resto zero.

Al fine di verificare il corretto calcolo della divisione, il prodotto del risultato per il dividendo (a cui andrà aggiunto l'eventuale resto) dovrà ridare il dividendo.

Nell'esempio:

dovra' dare come risultato

Detto

il dividendo,

il divisore,

il risultato (che e' detto quoto se non vi e' resto o quoziente se esiste il resto) e

il resto, e' vero infatti che