Integrali: int_{-infty}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx

Calcolare int_{-infty}^{+infty} (frac{sin(x)}{x})^3 dx La funzione integranda è prolungabile per contiinuità  in x=0 , dato che lim_{x o 0^{-}} (frac{sin(x)}{x})^3 = lim_{...

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di Admin-sp-17185
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Calcolare

[math]\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 dx[/math]

La funzione integranda è prolungabile per contiinuità  in
[math]x=0[/math]
, dato che

[math]\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 = \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 = 1[/math]

Dato che tale funzione è pari l'integrale di partenza può anche essere riscritto in questa forma

[math]\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 dx = 2 \int_{0}^{+\infty} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 dx[/math]

Dunque l'integrale di partenza converge se e solo se risulta convergente

[math]\int_{0}^{+\infty} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 dx[/math]

Per prima cosa si nota che la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, dato che

[math]\lim_{x \to +\infty} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 = 0[/math]

Si consideri la funzione

[math]f(x) = \egin{cases} 1 & \text{se } 0 \le x \le 1 \\ \frac{1}{x^3} & \text{se } x > 1 \ \end{cases}[/math]

Per

[math]x > 1[/math]
si nota che

[math]\frac{1}{x^3} - |\frac{\\sin^3(x)}{x^3}| = \frac{1 - |\\sin^3(x)|}{x^3} \ge 0[/math]

ovvero

[math]\frac{1}{x^3} \ge (\frac{|\\sin(x)|}{x})^3[/math]
(1)

dato che il seno è una funzione limitata fra

[math]-1[/math]
e
[math]1[/math]
. La derivata prima di
[math](\frac{\\sin(x)}{x})^3[/math]
vale

[math]3 (\frac{\\sin(x)}{x})^2 \frac{x \\cos(x) - \\sin(x)}{x^2} = 3 \\cos(x) (\frac{\\sin(x)}{x})^2 \frac{x - \text{tg}(x)}{x^2}[/math]

Per

[math]0 (in cui vale
[math]|\\sin(x)| = \\sin(x)[/math]
) risulta

[math]\\cos(x) > 0[/math]

[math](\frac{\\sin(x)}{x})^2 > 0[/math]
perché un quadrato non è mai negativo

Dallo sviluppo in serie di Taylor della tangente si nota che per

[math]0 risulta

[math]\text{tg}(x) > x[/math]

Dunque la derivata prima di

[math](\frac{|\\sin(x)|}{x})^3[/math]
per
[math]0 è sempre negativa, quindi, considerato che in tale intervallo la funzione è monotona descrescente, e considerando che per
[math]x \to 0[/math]
risulta
[math](\frac{\\sin(x)}{x})^3 \to 1[/math]
, si può concludere che

[math]1 \ge (\frac{|\\sin(x)|}{x})^3[/math]
per
[math]x \in (0,1)[/math]
(2)

Confrontando (1) e (2) si nota che

[math]f(x) \ge (\frac{|\\sin(x)|}{x})^3[/math]
per
[math]x > 0[/math]

dunque, se

[math]\int_{0}^{+\infty} f(x) dx[/math]

converge, allora converge anche

[math]\int_{0}^{+\infty} (\frac{|\\sin(x)|}{x})^3 dx[/math]

per il criterio del confronto, di conseguenza risulta pure convergente

[math]\int_{0}^{+\infty} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 dx[/math]

per via del criterio della convergenza assoluta.

[math]\int_{0}^{+\infty} f(x) dx = \int_{0}^{1} dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx = 1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{x^2}]_{1}^{+\infty} = 1 - \frac{1}{2} (-1) = \frac{3}{2}[/math]

Dato che tale integrale converge, allora anche

[math]\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 dx = 2 \int_{0}^{+\infty} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 dx[/math]

converge. Per calcolare il valore dell'integrale iniziale conviene porre

[math]x = \\pi t[/math]
, da cui
[math]dx = \\pi dt[/math]
, ottenendo

[math]\\pi \int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\\sin(\\pi t)}{\\pi t})^3dt[/math]

Siano

[math]x(t)[/math]
e
[math]y(t)[/math]
due funzioni trasformabili secondo Fourier, allora, per l'identità  di Parseval, vale

[math]\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) y^{ \cdot \cdot }(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) Y^{ \cdot \cdot }(f) df[/math]

dove l'esponente

[math] \cdot \cdot [/math]
indica l'operatore di coniugazione complessa,
[math]X(f) = \mathcal{F}{x(t)}[/math]
,
[math]Y(f) = \mathcal{F}{y(t)}[/math]
e
[math]\mathcal{F}{\cdot}[/math]
indica l'operatore trasformata di Fourier.

L'integrale iniziale, sfruttando l'identità  di Parseval, si può riscrivere così

[math]\\pi \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\\sin(\\pi t)}{\\pi t} (\frac{\\sin(\\pi t)}{\\pi t})^2 dt = \\pi \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{F}{\frac{\\sin(\\pi t)}{\\pi t}} (\mathcal{F}{(\frac{\\sin(\\pi t)}{\\pi t})^2})^{ \cdot \cdot } df[/math]

Considerando che

[math]\mathcal{F}{\frac{\\sin(\\pi t)}{\\pi t}} = \text{rect}(f)[/math]

[math]\mathcal{F}{(\frac{\\sin(\\pi t)}{\\pi t})^2} = \text{tr}(f)[/math]

dove

[math]\text\egin{cases} & \text{se } |f|

[math]\text\egin{cases} & \text{se } |\text{f}|

l'inetgrale iniziale equivale a

[math]\\pi \int_{-\infty}^{+\infty} \text{rect}(f) \text{tr}(f) df = \\pi \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (1 - |f|) df =[/math]

[math] = \\pi \int_{-\frac{1}{2}}^{0} (1 + f)df + \\pi \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - f)df = \\pi [f + \frac{f^2}{2}]_{-\frac{1}{2}}^{0} + \\pi [f - \frac{f^2}{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} = [/math]

[math] = \\pi (+ \frac{1}{2} - \frac{1}{8}) + \\pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) = \\pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8}) = \\pi (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4} \\pi[/math]

Dunque

[math]\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\\sin(x)}{x})^3 dx = \frac{3}{4} \\pi[/math]

FINE

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