Stabilire per quali
[math]\alpha \in \mathbb{R}[/math]
il seguente integrale converge:
[math]\int_{1}^{2} \frac{x+1}{\\sin(\sqrt{{2-x}^{\alpha}}) \cdot ln(\sqrt{3-x})} dx[/math]
(1)
Ponendo
[math]t = 2 - x[/math]
, da cui [math]-dt = dx[/math]
, e osservando che [math]x = 1 \implies t = 1[/math]
, [math]x = 2 \implies t = 0[/math]
, l'integrale (1) diventa
[math]-\int_{1}^{0} \frac{3-t}{\\sin(\sqrt{t^{\alpha}}) \cdot ln{\sqrt{1+t}}}dt = \int_{0}^{1} \frac{3-t}{\\sin(\sqrt{t^{\alpha}}) \cdot ln{\sqrt{1+t}}}dt[/math]
(2)
Per
[math]0 risulta
[math]1 + t > 0[/math]
, pertanto [math]ln(\sqrt{1 + t}) = ln{1 + t}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln{1 + t}[/math]
, e inoltre [math]\\sin(\sqrt{t^{\alpha}}) = \\sin{t^{\frac{\alpha}{2}}}[/math]
. Quindi (2) equivale a
[math]\int_{0}^{1} \frac{2(3 - t)}{\\sin(t^{\frac{\alpha}{2}}) ln(1+t)} dt[/math]
L'integrale è improprio in
[math]t=0[/math]
; per [math]t \to 0[/math]
risulta
[math]\\sin(t^{\frac{\alpha}{2}}) \approx t^{\frac{\alpha}{2}} \quad \quad ln(1 + t) \approx t[/math]
Dato che
[math]\lim_{t \to 0} \frac{\frac{2(3 - t)}{\\sin(t^{\frac{\alpha}{2}}) ln(1 + t)}}{\frac{1}{t^{\frac{\alpha}{2}} t}} = \lim_{t \to 0} 2 (3 - t) \cdot \frac{t^{\frac{\alpha}{2}}}{\\sin(t^{\frac{\alpha}{2}})} \cdot \frac{t}{ln(1 + t)} = 6[/math]
allora
[math]\frac{2 (3 - t)}{\\sin(t^{\frac{\alpha}{2}}) ln(1 + t)} ~ \frac{1}{t^{\frac{\alpha}{2}} t} = \frac{1}{t^{\frac{\alpha}{2} + 1}}[/math]
, pertanto (1) converge se e solo se converge
[math]\int_{0}^{1} \frac{1}{t^{\frac{\alpha}{2} + 1}} dt[/math]
Tale integrale converge solo se
[math]\frac{\alpha}{2} + 1 , pertanto l'integrale (1) converge per
[math]\alpha \in (-\infty, 0)[/math]
FINE
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