Studiare la convergenza del seguente integrale
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx[/math]
(1)
Dato che
[math]\lim_{x \to \\pm \infty} e^{-x^2} = 0[/math]
la condizione necessaria per la convergenza è verificata. La funzione integranda, definita e continua su tutto [math]\mathbb{R}[/math]
è pari, pertanto (1) può essere riscritto come
[math]2 \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = 2 (\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx + \int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx)[/math]
Nell'intervallo
[math][0,1][/math]
la funzione integranda è continua e limitata, pertanto
[math]\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx[/math]
è un numero, di conseguenza (1) è convergente se e solo se converge
[math]\int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx[/math]
(2)
Per
[math]x \ge 1[/math]
risulta [math]x^2 \ge x[/math]
, ovvero
[math]-x \ge -x^2[/math]
(3)
Dato che l'esponenziale con base
[math]e[/math]
è una funzione monotona crescente, dalla (3) si deduce che, sempre per [math]x \ge 1[/math]
[math]e^{-x} \ge e^{-x^2}[/math]
quindi
[math]\int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx \ge \int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx[/math]
(4)
[math]\int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{t \to +\infty} (-e^{-x}) |_{1}^{t} = \lim_{t \to +\infty} (-e^{-t} + e^{-1}) = \frac{1}{e}[/math]
(5)
Confrontando la (5) con la (4) si deduce che anche (2) converge, pertanto, per quanto detto in precedenza, l'integrale (1) è convergente.
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