Calcolare:
[math]\int_{1}^{2} x^2 (3 - \frac{1}{x} \\sin(x^2)) dx[/math]
La funzione integranda, definita per
[math]x \ne 0[/math]
, è continua nel suo dominio, perché ottenuta per composizione di funzioni continue. Dato che [math]0 \notin [1,2][/math]
la funzione [math]x^2(3 - \frac{1}{x} \\sin(x^2))[/math]
è integrabile in [math][1, 2][/math]
, e risulta
[math]\int_{1}^{2} x^2 (3 - \frac{1}{x} \\sin(x^2)) dx = \int_{1}^{2} (3x^2 - x \\sin(x^2))dx = \int_{1}^{2}3x^2 dx - \int_{1}^{2} x \\sin(x^2)dx[/math]
[math]\int_{1}^{2} 3x^2 = x^3|_{1}^{2} = 8 - 1 = 7[/math]
[math]\int_{1}^{2} x \\sin(x^2)dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} 2x \\sin(x^2) dx = -\frac{1}{2} \\cos(x^2)|_{1}{2} = -\frac{1}{2} (\\cos(4) - \\cos(1))[/math]
Pertanto
[math]\int_{1}^{2} x^2 (3 - \frac{1}{x} \\sin(x^2)) dx = 7 - (-\frac{1}{2} (\\cos(4) - \\cos(1))) = 7 + \frac{1}{2} \\cos(4) - \frac{1}{2} \\cos(1)[/math]
FINE
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