Calcolare l'area dell'ellisse avente equazione cartesiana
[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
L'area richiesta equivale a
[math]\int \int_{A} dxdy[/math]
dove
[math]A = {(x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1}[/math]
Conviene passare in coordinate polari, ponendo
[math]\egin{cases} x = a \\rho \\cos(\theta) \\ y = b \\rho \\sin(\theta) \ \end{cases}[/math]
con
[math]\\rho \in [0, +\infty)[/math]
e [math]\theta \in [0, 2 \\pi][/math]
. La matrice Jacobiana associata alla trasformazione è
[math]J(\\rho, \theta) = [(\frac{partial}{partial \\rho} x, \frac{partial}{partial \theta} x),(\frac{partial}{partial \\rho} y, \frac{partial}{partial \theta} y)] = [(a \\cos(\theta), -a \\rho \\sin(\theta)),(b \\sin(\theta), b \\rho \\cos(\theta))][/math]
Il determinante della matrice Jacobiana vale
[math]det(J(\\rho, \theta)) = ab \\rho \\cos^2(\theta) + ab \\rho \\sin^2(\theta) = ab \\rho[/math]
pertanto
[math]dxdy = |ab \\rho| d \\rho d \theta = ab \\rho d \\rho d \theta[/math]
Imponendo la condizione
[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1[/math]
si ottiene
[math]\\rho^2 \\cos^2(\theta) + \\rho^2 \\sin^2(\theta) \le 1 \implies \\rho in [0, 1][/math]
Pertanto l'area dell'ellisse vale
[math]\int_{0}^{2 \\pi} \int_{0}^{1} ab \\rho d \\rho d \theta = \frac{ab}{2} \int_{0}^{2 \\pi} [\\rho^2]_{0}^{1} d \theta = \frac{ab}{2} \int_{0}^{2 \\pi} d \theta = \frac{ab}{2} \cdot 2 \\pi = ab \\pi[/math]
FINE
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