Calcolare il seguente integrale indefinito:
[math]\int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx[/math]
Ponendo
[math]t = \text{arctg}(x)[/math]
si ottiene [math]dt = \frac{1}{1+x^2}dx[/math]
e [math]x = \text{tg}(t)[/math]
, e l'integrale di partenza si può riscrivere come
[math]\int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx = \int \frac{1}{1+\text{tg}^2(t)}dt = \int \frac{1 + \text{tg}^2(t) - \text{tg}^2(t)}{1 + \text{tg}^2(t)}dt = \int dt - \int \frac{\text{tg}^2(t)}{1 + \text{tg}^2(t)}dt = [/math]
[math] = t - \frac{1}{2} \int \text{tg}(t) \frac{2 \text{tg}(t)}{1 + \text{tg}^2(t)}dt[/math]
(1)
Ricordando la relazione
[math]\text{tg}(t) = \frac{\\sin(t)}{\\cos(t)}[/math]
, e ricordando che secondo le formule parametriche vale
[math]\frac{2 \text{tg}(t)}{1 + \text{tg}^2(t)} = \\sin(2t)[/math]
(2)
(1) si può riscrivere come
[math]t - \frac{1}{2} \int \frac{\\sin(t)}{\\cos(t)} \\sin(2t) dt = t - \int \frac{1}{2} \frac{\\sin(t)}{\\cos(t)} 2 \\sin(t) \\cos(t) dt = [/math]
[math] = t - \int \\sin^2(t) dt = t - \int (\frac{1}{2} - \frac{\\cos(2t)}{2}) dt = t - \frac{t}{2} + \frac{\\sin(2t)}{4} = \frac{t}{2} + \frac{\\sin(2t)}{4}[/math]
(3)
Vista la sostituzione fatta in precedenza,
[math]t = \text{arctg}(x)[/math]
, (3) si può riscrivere così:
[math]\frac{\text{arctg}(x)}{2} + \frac{\\sin(2 \text{arctg}(x))}{4}
frac{"arctg"(x)}{2} + frac{1}{4} frac{2 "tg"("arctg"(x))}{1 + "tg"^2("arctg"(x))}
Ricordando la formula (2) il risulta o precedente si può scrivere
el seguente modo
[/math]
[math]
"tg"("arctg"(x)) = x
Ricordando l'identità [/math]
[math], valida [/math]
forall x in mathbb{R}[math], il risuta o dell'integrale è
int frac{1}{(1+x^2)^2}dx = frac{"arctg"(x)}{2} + frac{1}{2} frac{x}{1+x^2}$
[/math]
FINE
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