Cosa sono i giochi matematici e perché la logica è importante

In quest'appunto troverai le definizioni di gioco matematico e di logica, corredati da opportuni esempi.

Cos'è la logica e a cosa serve

Prima di parlare dei giochi matematici è fondamentale fare una breve introduzione sulla logica, ossia sulla branca della matematica coinvolta in questo tipo di attività.

La logica matematica si incentra sullo sviluppo di alcuni concetti, assiomi e strategie utilizzati come supporto per effettuare dimostrazioni. Senza la logica, quindi, teoremi fondamentali come il Teorema di Pitagora e il Teorema di Euclide non potrebbero essere dimostrati.
Il primo a parlare di logica fu il filosofo Aristotele, il quale introdusse concetti importanti per l'approccio analitico, come le categorie. Queste ultime permettono di classificare qualsiasi elemento presente nel mondo reale.

Aristotele introdusse anche i sillogismi, ossia una strategia concatenata capace di giungere a una conclusione dopo aver classificato i termini che compongono un'affermazione. Supponiamo di avere i seguenti termini:

• tutti quelli che mangiano carne sono carnivori
• i leoni mangiano carne

Il sillogismo che discende da queste due affermazioni è "i leoni sono carnivori".

Quella introdotta da Aristotele era una logica simbolica e quindi poco matematica, pur essendo decisamente analitica. Successivamente, diversi studiosi come Turing e Peano hanno sfruttato l'approccio aristotelico per definire i pilastri della logica matematica.

Tale disciplina si sviluppa su alcuni modelli, che sono:

• la teoria dei modelli, a cui appartengono tutte le formule utilizzate per la descrizione dei fenomeni che avvengono in un determinato sistema, ossia in un certo "ambiente controllato".
• la teoria della dimostrazione che, come suggerito dal nome, ingloba tutte le strategie utilizzate per effettuare dimostrazioni scorrevoli e corrette
• la teoria della ricorsione la quale si basa sulla realizzazione di strategie atte al riconoscimento delle funzioni risolvibili mediante un approccio automatico
• la teoria degli insiemi, a cui appartengono tutte le nozioni relative all'insiemistica, come operatori e relazioni

Cosa sono i giochi matematici

Hai voglia di metterti in gioco e di valutare le tue competenze analitiche? Partecipa ai giochi matematici. I giochi matematici sono una competizione indetta ogni anno, solitamente nei primi mesi dell'anno, dal centro PRISTEM, affiliato all'Università Bocconi. Essa differisce dalle Olimpiadi di matematica per via della diversa natura dei test: quelli dei giochi PRISTEM risultano molto più teorici.

Sebbene per partecipare a questo tipo di gara non ci siano delle nozioni fondamentali da conoscere, avere una buona base di logica può aiutare a velocizzare la ricerca delle soluzioni.

I quesiti proposti in questo tipo di competizione sono a difficoltà crescente, a seconda della categoria di studenti. Possono infatti partecipare sia gli studenti di prima, seconda e terza media (nelle categorie C1 e C2), sia i liceali (L1/L2) ma anche laureandi (GP) e matematici professionisti (HC).

Quesito 1: le pagine del fumetto

Un fumetto ha n pagine. Per numerare tutte le pagine è stato utilizzato 10 volte il numero 2: quante sono le pagine del fumetto?

Svolgimento proposto del quesito 1

Dobbiamo considerare tutti i numeri in cui il numero 2 compare come cifra (attenzione: bisogna includere anche i numeri in cui il 2 compare alle decine e non alle unità). In ordine crescente si hanno quindi: 2,12,20,21,22,23,24,25,26.
L'ultima pagina numerata è quindi la pagina 26, poiché nel numero 22 la cifra compare due volte.

Quesito 2: la bottiglia

Una bottiglia di succo di frutta completamente piena pesa 1 kg. Considerando che la bottiglia riempita per metà pesa 0.7 kg, quanto pesa la bottiglia completamente vuota?

Svolgimento proposto del quesito 2

Questo tipo di quesito può essere svolto impostando un'equazione. Il peso della bottiglia riempita può essere espresso come:

, dove

è il peso della bottiglia vuota e

è il peso del succo di frutta. Nel secondo caso, invece, abbiamo che

, poichè il peso della bottiglia vuota

è sempre lo stesso, ma è presente la metà del succo

.

In questo sistema abbiamo due equazioni e due incognite: risolviamolo per sostituzione. Dalla prima equazione si ha che

. Sostituendolo nella seconda, invece, si ha che

quindi

e

La bottiglia vuota quindi pesa

.

Per ulteriori approfondimenti sulla logica e sui giochi matematici vedi anche qua