Numeri complessi: Risolvere la seguente equazione con numeri complessi: z^4 + 1 = 0

Per risolvere un'equazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Un numero complesso

può essere scritto in questo modo:

dove

rappresenta il modulo di

, mentre

è un angolo che rappresenta l'argomento del numero complesso.
L'angolo

servirà per determinare la posizione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; ricordiamo, infatti, che vale la seguente uguaglianza:

La nostra equazione, quindi, può essere espressa in una nuova forma, più facilmente risolvibile:

Notiamo che, affinché l'uguaglianza sia verificata, è necessario che

e che

, in quanto, ricordando la notazione esponenziale, si ha:

Possiamo quindi impostare il seguente sistema:

SISTEMA

Nella risoluzione dell'equazione dobbiamo tener conto del fatto che, poiché l'esponente di

è 4, avremo esattamente quattro soluzioni; ciò significa che i valori che può assumere il coefficiente

sono

.

Dalla prima equazione risulta evidente che deve essere

.
Risolviamo ora la seconda equazione; ricordiamo che sono validi tutti gli angoli

multipli di

:

Quindi:

Determiniamo i tre angoli che individuano le tre soluzioni dell'equazione:

Ora dobbiamo scrivere i numeri complessi

,

,

e

nella forma

.
Per farlo, ricorriamo alla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, ovvero sfruttiamo l'uguaglianza:

Nel primo caso abbiamo:

Nel secondo caso:

Nel terzo caso:

Infine, la quarta soluzione è:

Come possiamo notare, le soluzioni sono tutte e quattro complesse, a due a due coniugate; rappresentando le soluzioni ottenute su una circonferenza goniometrica possiamo notare che esse individuano i vertici di un quadrato.

Potrebbe interessarti anche

• Numeri complessi in forma algebrica (videolezione)
• Appunti sui numeri complessi