Numeri complessi: Risolvere la seguente equazione con numeri complessi: z^4 + 1 = 0

di _stan

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Per risolvere un'equazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.
Un numero complesso

[math]z[/math]

può essere scritto in questo modo:

[math] z = \>br /> ho e^{i \theta}[/math]

dove

[math]ro[/math]

rappresenta il modulo di

[math]z[/math]

, mentre

[math]\theta[/math]

è un angolo che rappresenta l'argomento del numero complesso.
L'angolo

[math]\theta[/math]

servirà per determinare la posizione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica; ricordiamo, infatti, che vale la seguente uguaglianza:

[math] e^{i \theta} = \\cos(\theta) + i \\sin (\theta) [/math]

La nostra equazione, quindi, può essere espressa in una nuova forma, più facilmente risolvibile:

[math] (\>br /> ho e^{i \theta})^4 = -1 \to \>br /> ho^4 e^{ 4i \theta} = -1 [/math]

Notiamo che, affinché l'uguaglianza sia verificata, è necessario che

[math] \>br /> ho = 1[/math]

e che

[math] e^{i \theta} = e^{iπ} = -1[/math]

, in quanto, ricordando la notazione esponenziale, si ha:

[math] e^{i \pi} = \\cos(\pi) + i \\sin (\pi) = -1 [/math]

Possiamo quindi impostare il seguente sistema:

SISTEMA

Nella risoluzione dell'equazione dobbiamo tener conto del fatto che, poiché l'esponente di

[math]z[/math]

è 4, avremo esattamente quattro soluzioni; ciò significa che i valori che può assumere il coefficiente

[math]k[/math]

sono

[math] 0, 1, 2, 3[/math]

Dalla prima equazione risulta evidente che deve essere

[math] \>br /> ho = 1[/math]

.
Risolviamo ora la seconda equazione; ricordiamo che sono validi tutti gli angoli

[math]\theta[/math]

multipli di

[math]360°[/math]

[math] e^{ 4i \theta} = e^{\pi} \to 4\theta = \pi + 2k\pi [/math]

Quindi:

[math] \theta = frac(\pi + 2k \pi)(4) [/math]

Determiniamo i tre angoli che individuano le tre soluzioni dell'equazione:

[math] k = 0 \to \theta = π/4 [/math]

[math] k = 1 \to \theta = frac(3π)(4) [/math]

[math] k = 2 \to \theta = frac(5π)(4) [/math]

[math] k = 3 \to \theta = frac(7π)(4) [/math]

Ora dobbiamo scrivere i numeri complessi

[math] z_1[/math]

[math] z_2[/math]

[math] z_3[/math]

[math] z_4[/math]

nella forma

[math] a + ib[/math]

.
Per farlo, ricorriamo alla rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi, ovvero sfruttiamo l'uguaglianza:

[math] z = e^{i \theta} = \\cos(\theta) + i \\sin (\theta) [/math]

Nel primo caso abbiamo:

[math] z_1 = \\cos(π/4) + i \\sin (π/4) = frac(\sqrt2){2} + frac(\sqrt2){2} i [/math]

Nel secondo caso:

[math] z_2 = \\cos(3π/4) + i \\sin (3π/4) = - frac(\sqrt2){2} + frac(\sqrt2){2} i [/math]

Nel terzo caso:

[math] z_3 = \\cos(5π/4) + i \\sin (5π/4) = - frac(\sqrt2){2} - frac(\sqrt2){2} i [/math]

Infine, la quarta soluzione è:

[math] z_4 = \\cos(7π/4) + i \\sin (7π/4) = frac(\sqrt2){2} - frac(\sqrt2){2} i [/math]

Come possiamo notare, le soluzioni sono tutte e quattro complesse, a due a due coniugate; rappresentando le soluzioni ottenute su una circonferenza goniometrica possiamo notare che esse individuano i vertici di un quadrato.

Numeri complessi: Risolvere la seguente equazione con numeri complessi: z^4 + 1 = 0

Per risolvere un'equazione di questo tipo dobbiamo procedere considerando la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi. Un numero complesso z può essere scritto in questo modo: z = rho...

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