Disequazioni: x^6+(3sqrt3 -2sqrt2)x^3-6sqrt6>0

di _Steven

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Si risolva la seguente disequazione

[math]x^6+(3\sqrt3-2\sqrt2)x^3-6\sqrt6>0[/math]

Posto

[math]t=x^3[/math]

si ha

[math]t^2+(3\sqrt3-2\sqrt2)t-6\sqrt6>0[/math]

e l'equazione associata risulta

[math]t^2+(3\sqrt3-2\sqrt2)t-6\sqrt6=0[/math]

Il discriminante risulta

[math]\Delta=(3\sqrt3-2\sqrt2)^2+24\sqrt6={3\sqrt3}^2-12\sqrt6+(2\sqrt2)^2+24\sqrt6={3\sqrt3}^2+12\sqrt6+(2\sqrt2)^2[/math]

e quindi nell'ultimo membro di questa catena di uguaglianze possiamo riconoscere lo sviluppo di un quadrato di binomio

[math]\Delta = (3\sqrt3+2\sqrt2)^2[/math]

Quindi le soluzioni dell'equazione associata risultano, usando la nota formula,

[math]t_1=(-3\sqrt3+2\sqrt2 + {3\sqrt3+2\sqrt2})/2=2\sqrt2[/math]

[math]t_2=(-3\sqrt3+2\sqrt2 - {3\sqrt3+2\sqrt2})/2=-3\sqrt3[/math]

Quindi la disequazione ha soluzioni

[math]t 2\sqrt2[/math]

da cui, ricordando che

[math]t=x^3[/math]

, si avrà

[math]x^3 2\sqrt2[/math]

e infine

[math]x \sqrt2[/math]

Infatti risulta essere, usando la regola del portar dentro,

[math]-3\sqrt3=\sqrt{-27}[/math]

e anche

[math]\sqrt2=\sqrt8[/math]

e a questo punto è facile estrarre la radice cubica

Il trucco sta tutto nella manipolazione del delta. Se si cade nella tentazione di sommare i due quadrati dello sviluppo del primo quadrato di binomio si ottiene

[math]\Delta=(3\sqrt3-2\sqrt2)^2+24\sqrt6=27-12\sqrt6+8+24\sqrt6=35+12\sqrt6[/math]

che richiederebbe l'uso della formula che tratta i radicali doppi.

Presentiamo anche una via più semplice per risolvere la disequazione

[math]x^6+(3\sqrt3 -2\sqrt2)x^3-6\sqrt6>0[/math]

moltiplicando ottengo

[math]x^6+3\sqrt3 x^3 -2\sqrt2x^3-6\sqrt6>0 [/math]

con il raccoglimento a fattor parziale si ottiene

[math](x^3+3\sqrt3) \cdot {x^3 -2\sqrt2}>0[/math]

Studio il segno dei due fattori

[math]x^3> -3\sqrt3 --> x> -\sqrt3 [/math]

[math]x^3 -2\sqrt2>0 --> x> \sqrt2[/math]

attraverso il grafico di studio dei segni si ottiene

[math]x

[math]x> \sqrt2[/math]

FINE

Disequazioni: x^6+(3sqrt3 -2sqrt2)x^3-6sqrt6>0

Si risolva la seguente disequazione x^6+(3sqrt3-2sqrt2)x^3-6sqrt6>0 x^6+(3sqrt3-2sqrt2)x^3-6sqrt6>0 Posto t=x^3 si ha t^2+(3sqrt3-2sqrt2)t-6sqrt6>0 e l'equazione associata ris...

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