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Come scomporre e risolvere i trinomi speciali


Durante il primo anno delle scuole superiori, alle lezioni di matematica, nella maggior parte delle scuole si incontrano le scomposizioni di binomi e trinomi. Nelle prossime righe vi guiderò a scomporre e risolvere i trinomi speciali passo dopo passo.


Cos'è un trinomino speciale?

Un trinomio speciale è un’equazione in x nella quale è necessario sostituire il termine di grado medio (di solito quello che contiene x elevata a grado 1) con la somma di due termini dello stesso grado ed effettuare due raccoglimenti parziali e un raccoglimento totale, per poter trovare il valore di x.

Prendiamo come esempio l’equazione

[math]2x^2+7x+6=0[/math]

Identificare il termine di grado medio

Il termine di grado medio, in un trinomio, è il termine che non ha nè grado massimo (
[math]2x^2[/math]
), nè grado minimo (
[math]6x^0=6[/math]
), quindi, nel nostro caso
[math]7x[/math]
.

Sostituire il termine di grado medio

Per sostituire correttamente il termine di grado medio con la somma di due termini dello stesso grado bisogna assicurarsi che:
  • la somma dei due termini scelti sia uguale al termine dell’equazione di partenza
    [math]a+b=7[/math]
  • il prodotto tra i due termini scelti sia uguale al prodotto del termine di grado maggiore con il termine di grado minore:
    [math]ab=26[/math]
    . Ovviamente quando il coefficiente di
    [math]x^2[/math]
    è uguale a
    [math]1[/math]
    il prodotto dei due termini è uguale al termine noto:
    [math]ab=6[/math]

Nel nostro caso:

Chiamiamo i due termini
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]

[math]a+b=7[/math]

[math]ab=26[/math]

Da queste due equazioni troviamo che i numeri di cui abbiamo bisogno saranno 3 e 4

Effettuare i raccoglimenti parziali

[math]2x^2+3x+4x+6=0[/math]

A questo punto effettuare un raccoglimento parziale tra i primi due termini e gli ultimi due, facendo attenzione che il contenuto delle due parentesi sia uguale (sia in valore che in segno) in modo da permettere poi il raccoglimento parziale tra i due termini.
[math]x(2x+3)+2(2x+3)=0[/math]

Effettuare il raccoglimento totale

[math]x(2x+3)+2(2x+3)=0[/math]

Ora effettuare un raccoglimento totale in modo da ottenere il prodotto tra due binomi, per poter poi utilizzare la legge dell’annullamento del prodotto (LAP) e trovare la soluzione.
[math](x+2)(2x+3)=0[/math]

Trovare le soluzioni grazie alla legge di annullamento del prodotto (LAP)

[math](x+2)(2x+3)=0[/math]

Per trovare le soluzioni di questa equazione è necessario trovare i valori di
[math]x[/math]
per i quali si annullano l’una e l’altra parentesi, sfruttando la LAP.
Quindi perché
[math](x+2)(2x+3)[/math]
sia uguale a 0:
[math](x+2)=0[/math]

[math]x=-2[/math]

e

[math](2x+3)=0[/math]

[math]2x=-3[/math]

[math]2x^2=-32[/math]

[math]x=-32[/math]
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