Studiare il carattere della seguente serie
[math]\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\\sin(n) + (-1)^n n}{n^2}[/math]
La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, infatti
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{\\sin(n) + (-1)^n n}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\\sin(n)}{n^2} + \frac{(-1)^n}{n} = 0 + 0 = 0[/math]
Si considerino separatamente le seguenti due serie
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\\sin(n)}{n^2}[/math]
(1)
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}[/math]
(2)
Si nota che (1) è una serie a termini di segno variabile. Per studiare la convergenza assoluta di tale serie occorre considerare
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} |\frac{\\sin(n)}{n^2}| = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\\sin(n)|}{n^2}[/math]
(3)
Dato che
[math]|\\sin(n)|
[math]\forall n \in \mathbb{N}[/math]
, allora (3) è maggiorata da
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}[/math]
che è una serie armonica con esponente maggiore di
[math]1[/math]
, e quindi convergente. Di conseguenza (3) converge per il criterio del confronto, pertanto (1) converge assolutamente, quindi anche semplcimente. Si consideri ora
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}[/math]
Questa è una serie a termini di segno alterni che converge per il criterio di Leibniz, visto che
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0[/math]
[math]\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}[/math]
[math]\forall n \in \mathbb{N} setmi
us {0}[/math]
us {0}[/math]
Dato che (1) e (2) converge, allora converge anche
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\\sin(n)}{n^2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n}[/math]
e risulta
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\\sin(n)}{n^2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{1}{n} = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\\sin(n) + (-1)^n n}{n^2}[/math]
pertanto anche la serie iniziale converge.
FINE
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