Studiare il carattere della seguente serie
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + n}[/math]
La serie è a termini positivi. La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, visto che
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + n} = \lim_{n \to +\infty} (\frac{2}{3})^n \frac{1 + 2^{-n}}{1 + n \cdot 3^{-n}} = 0 \cdot 1 = 0[/math]
Dato che
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2^n + 1}{3^n + n}}{\frac{2^n}{3^n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + n} \frac{2^{-n}}{3^{-n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + 2^{-n}}{1 + n \cdot 3^{-n}} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1[/math]
allora
[math]\frac{2^n + 1}{3^n + n} ~ (\frac{2}{3})^n[/math]
. La serie
[math]\sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{2}{3})^n[/math]
converge perché è una serie geometrica con ragione minore in modulo di
[math]1[/math]
, pertanto si può dire che converge anche la serie proposta per il criterio del confronto asintotico.
FINE
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
