Studiare il carattere della seguente serie a termini di segno positivo
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^n}[/math]
La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta solo se
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{n^n} = 0[/math]
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{n^n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^n e^{-n} \sqrt{2 \\pi n}}{n^n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{2 \\pi n}}{e^n} = 0[/math]
In questo limite è stata usata l'approssimazione di Stirling, secondo cui
[math]n! \approx n^n e^{-n} \sqrt{2 \\pi n}[/math]
. Dato che
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^n}{n!} =[/math]
[math] = \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1)!}{n!} \frac{1}{n+1} \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{n+1} (\frac{n}{n+1})^n =[/math]
[math] = \lim_{n \to +\infty} (\frac{n+1-1}{n+1})^{n+1-1} = \lim_{n \to +\infty} (1 - \frac{1}{n+1})^{n+1} \cdot (1 - \frac{1}{n+1})^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}
Pertanto la serie proposta converge per il criterio del rapporto.
FINE
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