Studiare il carattere della seguente serie
[math]\sum_{n = 0}^{+\infty} \\sin(\frac{n+2}{n^3 + 4})[/math]
[math]\lim_{n \to +\infty} \\sin(\frac{n+2}{n^3 + 4}) = \\sin(0) = 0[/math]
pertanto la condizione necessaria per la convergenza è verificata. Sfruttando il limite notevole del seno si nota che
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{\\sin(\frac{n+2}{n^3 + 4})}{\frac{n+2}{n^3 + 4}} = 1[/math]
dunque
[math]\\sin(\frac{n+2}{n^3 + 4}) ~ \frac{n+2}{n^3 + 4}[/math]
. D'altra parte
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n+2}{n^3 + 4}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{n+2}{n^3 + 4} \cdot n^2 = 1[/math]
pertanto
[math]\frac{n+2}{n^3 + 4} ~ \frac{1}{n^2}[/math]
. Quindi la serie proposta converge se e solo se risulta convergente
[math]\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{1}{n^2}[/math]
Ma questa è una serie armonica con esponente maggiore di
[math]1[/math]
, ed è quindi convergente, di conseguenza la serie iniziale converge per il criterio del cofnronto asintotico. FINE
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