Studiare il carattere della seguente serie
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n + ln(n)}{(n + \\cos(n))^3}[/math]
Il coseno è una funzione limitata fra
[math]-1[/math]
e [math]1[/math]
, pertanto [math]n + \\cos(n) > 0[/math]
[math]\forall n \in \mathbb{N} setmi
us {0}[/math]
. Dato che us {0}[/math]
[math]n + ln(n) > 0[/math]
[math]\forall n \in \mathbb{N} setmi
us {0}[/math]
s ipuò concludere che la serie è a termini di segno positivo. us {0}[/math]
Osservando che
[math]ln(n)
us {0}[/math]
allora
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n + ln(n)}{(n + \\cos(n))^3} (1)
Calcolando il seguente limite, si vede che
[math]\frac{2n}{(n + \\cos(n))^3} ~ \frac{1}{n^2}[/math]
:
[math]\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n}{(n + \\cos(n))^3}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n^3}{n^3 (1 + \frac{\\cos(n)}{n^3})^3} = 2[/math]
La serie
[math]\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}[/math]
converge, perché è una serie armonica con esponente maggiore di
[math]1[/math]
, perciò in base a (1) si può affermare che la serie iniziale converge per il criterio del confronto.
FINE
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