Sistemi normali e sistemi lineari minimi

Nel seguente appunto studieremo le definizione di alcuni sistemi, che altro non sono che un insieme di equazioni che vengono simultaneamente soddisfatte.

Sistemi normali

Definizione: Un sistema normale o di Cramer è un sistema lineare la cui matrice incompleta è
quadrata (quindi il numero delle equazioni è uguale a quello delle incognite) ed ha determinante non nullo.
Ad esempio:
è un sistema compatibile e la matrice incompleta associata a tale sistema ha determinante . Quando così non è, possono verificarsi casi un po' particolari: il numero delle soluzioni è pari a 0 o addirittura infinito!

Sistemi lineari minimi

Definizione: Un sistema lineare si dice minimo se il rango della matrice completa è uguale al numero delle equazioni, ovvero tutte le righe di tale matrice sono linearmente indipendenti (“tutte le equazioni sono linearmente indipendenti”). Due sistemi lineari si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
Osservazione: Poichè , condizione necessaria affinché un sistema che ha come matrice dei coefficienti sia minimo è che il numero delle equazioni cioè sia minore o uguale a quello delle incognite .

In merito alla definizione precedente vediamo alcuni interessanti risultati.

Proposizione

Ogni soluzione di un sistema lineare è anche soluzione di tutte le equazioni che sono combinazioni lineari delle equazioni di . Di conseguenza, se contiene un’equazione che è combinazione lineare delle rimanenti, eliminando tale equazione si ottiene un sistema equivalente.

Corollario

Ogni sistema lineare è equivalente ad un sistema minimo.

Corollario

Dato un sistema lineare , ogni sistema lineare ottenuto da mediante
trasformazioni elementari di riga è equivalente a . Per trasformazione lineare si intende qualsiasi operazione (fatta su una riga) atta a dividere o moltiplicare tutta la riga per uno scalare non nullo (il che vuol dire moltiplicare o dividere ogni singolo coefficiente dell'equazione per uno scalare) oppure fare la differenza (o la somma, ma mai il prodotto!) tra più righe di un sistema.