Sistemi normali e sistemi lineari minimi

Sistemi normali

Definizione

Un sistema normale o di Cramer `e un sistema lineare la cui matrice incompleta `e
quadrata (quindi il numero delle equazioni `e uguale a quello delle incognite) ed ha determinante non nullo.

Sistemi lineari minimi

Definizioni

Un sistema lineare si dice minimo se il rango della matrice completa `e uguale al numero delle equazioni, ovvero tutte le righe di tale matrice sono linearmente indipendenti (“tutte le equazioni sono linearmente indipendenti”). Due sistemi lineari si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.
Osservazione: Poichè ρ(A) ≤ min{m, n}, condizione necessaria affinché un sistema che ha A come matrice dei coefficienti sia minimo `e che il numero delle equazioni m sia minore o uguale a quello delle incognite n.

Proposizione

Ogni soluzione di un sistema lineare S `e anche soluzione di tutte le equazioni che sono combinazioni lineari delle equazioni di S. Di conseguenza, se S contiene un’equazione che `e combinazione lineare delle rimanenti, eliminando tale equazione si ottiene un sistema equivalente.

Corollario

Ogni sistema lineare `e equivalente ad un sistema minimo.

Corollario

Dato un sistema lineare S, ogni sistema lineare ottenuto da S mediante
trasformazioni elementari di riga di tipo T1,T2,T3 `e equivalente a S.