Risoluzione grafica

Le disequazioni di secondo grado ridotte in forma normale sono formate da un polinomio di secondo grado nell'incognita x al primo membro, e da zero al secondo membro; possono quindi essere di questo tipo:

[math] \displaystyle ax^2 + bx + c \gt 0 \mbox{, } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ax^2 + bx + c \ge 0 [/math]

[math] \displaystyle ax^2 + bx + c \lt 0 \mbox{, } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ax^2 + bx + c \le 0 [/math]

La risoluzione delle disequazioni di secondo grado può avvenire per via grafica, facendo riferimento allequazione associata, che far del tipo:

[math] \displaystyle ax^2 + bx + c = 0 [/math]

e, in particolare, al grafico della funzione

[math] \displaystyle y = ax^2 + bx + c [/math]

che rappresenta, nel piano cartesiano, una parabola.

Sappiamo già che, in base al discriminante dell'equazione, la parabola sarà disposta in un certo modo:

se
[math] \displaystyle \delta = 0[/math]
la parabola incontra l'asse delle x in un solo punto;
se
[math] \displaystyle \delta \gt 0[/math]
la parabola ha due punti di intersezione con l'asse delle x;
se
[math] \displaystyle \delta \lt 0[/math]
la parabola non ha punti di intersezione con l'asse x;

e in base al segno del primo coefficiente la parabola avrà diversa concavità:

se
[math] \displaystyle a \gt 0[/math]
la parabola ha concavità rivolta verso l'alto;
se
[math] \displaystyle a \lt 0[/math]
la parabola ha concavità rivolta verso il basso;

Per risolvere le disequazioni di secondo grado, quindi, procediamo in questo modo:

Se la disequazione del tipo:
[math] \displaystyle ax^2 + bx + c \gt 0[/math]

dobbiamo rappresentare nel piano cartesiano l'equazione:

[math] \displaystyle y = ax^2 + bx + c [/math]

e determinare i punti di questa parabola che si trovano al di sopra dell'asse x; per questi punti, si ha, infatti,

[math] \displaystyle y \gt 0 [/math]

; l'insieme di tutti questi punti rappresenta l'insieme delle soluzioni della disequazione.

Se invece la disequazione del tipo:
[math] \displaystyle ax^2 + bx + c \lt 0[/math]

dobbiamo rappresentare nel piano cartesiano l'equazione:

[math] \displaystyle y = ax^2 + bx + c [/math]

e determinare i punti di questa parabola che si trovano al di sotto dell'asse x; per questi punti, si ha, infatti,

[math] \displaystyle y \lt 0 [/math]

; l'insieme di tutti questi punti rappresenta l'insieme delle soluzioni della disequazione.

Nel caso in cui il simbolo della disequazione sia

[math] \displaystyle \le 0 \mbox{ o } \gt 0[/math]

, dobbiamo includere nell'insieme delle soluzioni della disequazione anche i punti in cui la parabola interseca l'asse delle x, punti in cui si ha y = 0.

Esempio di disequazioni svolta per via grafica

Risolviamo, per via grafica, la seguente disequazione:

[math] \displaystyle 4(x^2-1) \lt 4x - 1 [/math]

per prima cosa, rendiamo la disequazione in forma normale, portando tutti i termini al primo membro:

[math] \displaystyle 4x^2 - 4 - 4x + 1 \lt 0[/math]

[math] \displaystyle 4x^2 - 4x - 3 \lt 0[/math]

ora, consideriamo l'equazione associata:

[math] \displaystyle 4x^ - 4x - 3 = 0[/math]

e rappresentiamo nel piano cartesiano la funzione relativa all'equazione associata:

[math] \displaystyle y = 4x^2 - 4x - 3[/math]

Possiamo determinare i punti di intersezione della parabola con l'asse x sapendo che in questi punti si ha y = 0, quindi risolviamo la seguente equazione:

[math] \displaystyle 4x^2 - 4x - 3 = 0[/math]

[math] \displaystyle x = \frac{2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-3)}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{4} =\frac{2 \pm \sqrt{16}}{4} =\frac{2 \pm 4}{4}[/math]

[math] \displaystyle x = \frac{2 \pm 4}{4} \rightarrow x = \frac{2+4}{4} \vee x = \frac{2-4}{4} \rightarrow x = [/math]

[math] \displaystyle = \frac{6}{4} \vee x =\frac{-2}{4} \rightarrow x =\frac{3}{2} \vee x = -\frac{1}{2}[/math]

Poiché la disequazione di partenza ha il simbolo

[math] \displaystyle \lt[/math]

, sappiamo che dobbiamo considerare i punti della parabola che si trovano al di sotto dell'asse x, quindi la soluzioni della disequazione rappresentata dal seguente intervallo:

[math] \displaystyle -\frac{1}{2} \lt x \lt \frac{3}{2}[/math]

Possiamo anche scrivere:

[math] \displaystyle S = \Big(-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\Big)[/math]

Esempio: risolviamo, per via grafica, la seguente disequazione:

[math] \displaystyle \frac{3(x^2-1)}{4} \gt 3x^2 + \frac{5}{2}[/math]

Per prima cosa, riduciamo la disequazione in forma normale:

[math] \displaystyle \frac{3(x^2 - 1}{4} \gt \frac{4\cdot 3x^2}{4} + \frac{2 \cdot 5}{4}[/math]

[math] \displaystyle 3 (x^2 - 1) \gt 12x^2 + 10[/math]

[math] \displaystyle 3x^2 - 3 - 12x^2 - 10 \gt 0[/math]

[math] \displaystyle -9x^2 - 13 \gt 0 \rightarrow 9x^2 + 13 \lt 0[/math]

Notiamo subito che, già a questo punto, possiamo capire che la disequazione è impossibile: infatti due quantità positive non possono essere minori di zero.

In ogni caso, rappresentiamo la funzione dell'equazione associata nel piano cartesiano:

[math] \displaystyle 9x^2 + 13 = 0[/math]

Disequazioni di secondo grado articolo

I valori che soddisfano la disequazione sono i valori per cui la parabola si trova al di sotto dell'asse x, perché la disequazione che abbiamo nell'ultimo passaggio ha il verso

[math] \displaystyle \lt[/math]

. Ma la parabola si trova tutta al di sopra dell'asse x: ciò ci conferma che la disequazione impossibile.

Procedimento risolutivo

In generale, l'insieme delle soluzioni delle disequazioni di secondo grado è costituito da un intervallo, o dalla unione di due intervalli.

[math] \displaystyle x_1 \mbox{ e } x_2[/math]

sono i punti in cui la parabola interseca l'asse x, chiamiamo l'intervallo di questi estremi intervallo delle radici.

Inoltre, i numeri reali x che sono compresi tra i due estremi,

[math] \displaystyle x_1 \lt x \lt x_2 [/math]

sono i valori interni dell'intervallo delle radici.

Mentre, i valori non sono interni all'intervallo delle radici, cioè tali che:

[math]x \lt x_1 \vee x \gt x_2[/math]

si dicono valori esterni all'intervallo delle radici.

Possiamo fissare delle regole generali per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado, ridotte in forma canonica:

[math] \displaystyle ax^2 + bx + c \gt 0 [/math]

[math] \displaystyle ax^2 + bx + c \lt 0 [/math]

Analizziamo i tre possibili casi che si hanno considerando il discriminante dei trinomi della disequazione:

se
[math] \displaystyle \delta \gt 0[/math]
abbiamo che:
- se
  [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \gt[/math]
  , o se
  [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \lt[/math]
  , le soluzioni della disequazione sono i valori esterni all'intervallo delle radici:
  [math] \displaystyle x \lt x_1 \vee x \gt x_2 [/math]
- se
  [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \lt[/math]
  , o se
  [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \gt[/math]
  , le soluzioni della disequazione sono i valori interni all'intervallo delle radici:
  [math] \displaystyle x_1 \lt x \lt x_2 [/math]
se
[math] \displaystyle \delta = 0[/math]
abbiamo che:
- se
  [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \gt[/math]
  , o se (a \lt 0[/math] e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \lt[/math]
  , la disequazione è soddisfatta per tutti i valori di x;
- se
  [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \lt[/math]
  , o se
  [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \gt[/math]
  , la disequazione è impossibile;
se
[math] \displaystyle \delta \lt 0[/math]
abbiamo che:
- se
  [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \gt[/math]
  , o se
  [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \lt[/math]
  , la disequazione soddisfatta per tutti i valori di x;
- se
  [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \lt[/math]
  , o se
  [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
  e la disequazione ha il simbolo
  [math] \displaystyle \gt[/math]
  , la disequazione è impossibile;

Nel caso in cui la disequazione abbia simbolo

[math] \displaystyle \le \mbox{ o } \ge[/math]

, dobbiamo considerare anche i valori di x che annullano il trinomio al primo membro.

Esempio: risolviamo la seguente disequazione:

[math] \displaystyle 4x (x- 2) \lt 11 + (x-4)^2 [/math]

Per prima cosa, semplifichiamo la disequazione rendendola in forma normale:

[math] \displaystyle 4x^2 - 8x \lt 11 + x^2 + 16 - 8x[/math]

[math] \displaystyle 4x^2 - 8x -11 - x^2 - 16 + 8x \lt 0[/math]

[math] \displaystyle 3x^2 - 27 \lt 0[/math]

Risolviamo l'equazione associata, trovando gli estremi dell'intervallo delle radici:

[math] \displaystyle 3x^2 - 27 = 0 \rightarrow 3x^2 = 27 \rightarrow x^2 = \frac{27}{3}[/math]

[math] \displaystyle x = \pm \sqrt{\frac{27}{3}} = \pm \sqrt{9} = \pm 3[/math]

Poiché il trinomio deve essere minore di zero, e il primo coefficiente è positivo, la soluzione della disequazione è l'insieme dei valori che sono interni all'intervallo delle radico, quindi:

[math] \displaystyle S : - 3 \lt x \lt 3[/math]

Disequazioni di secondo grado

La risoluzione delle disequazioni di secondo grado per via analitica e per via grafica.

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