Disequazioni di secondo grado

Risoluzione grafica

Le disequazioni di secondo grado ridotte in forma normale sono formate da un polinomio di secondo grado nell'incognita x al primo membro, e da zero al secondo membro; possono quindi essere di questo tipo:

La risoluzione delle disequazioni di secondo grado può avvenire per via grafica, facendo riferimento allequazione associata, che far del tipo:

e, in particolare, al grafico della funzione

che rappresenta, nel piano cartesiano, una parabola.

Sappiamo già che, in base al discriminante dell'equazione, la parabola sarà disposta in un certo modo:

• se
  [math] \displaystyle \delta = 0[/math]
  la parabola incontra l'asse delle x in un solo punto;
• se
  [math] \displaystyle \delta \gt 0[/math]
  la parabola ha due punti di intersezione con l'asse delle x;
• se
  [math] \displaystyle \delta \lt 0[/math]
  la parabola non ha punti di intersezione con l'asse x;

e in base al segno del primo coefficiente la parabola avrà diversa concavità:

• se
  [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
  la parabola ha concavità rivolta verso l'alto;
• se
  [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
  la parabola ha concavità rivolta verso il basso;

Per risolvere le disequazioni di secondo grado, quindi, procediamo in questo modo:

• Se la disequazione del tipo:
  [math] \displaystyle ax^2 + bx + c \gt 0[/math]

dobbiamo rappresentare nel piano cartesiano l'equazione:

e determinare i punti di questa parabola che si trovano al di sopra dell'asse x; per questi punti, si ha, infatti,

; l'insieme di tutti questi punti rappresenta l'insieme delle soluzioni della disequazione.

• Se invece la disequazione del tipo:
  [math] \displaystyle ax^2 + bx + c \lt 0[/math]

dobbiamo rappresentare nel piano cartesiano l'equazione:

e determinare i punti di questa parabola che si trovano al di sotto dell'asse x; per questi punti, si ha, infatti,

; l'insieme di tutti questi punti rappresenta l'insieme delle soluzioni della disequazione.

Nel caso in cui il simbolo della disequazione sia

, dobbiamo includere nell'insieme delle soluzioni della disequazione anche i punti in cui la parabola interseca l'asse delle x, punti in cui si ha y = 0.

Esempio di disequazioni svolta per via grafica

Risolviamo, per via grafica, la seguente disequazione:

per prima cosa, rendiamo la disequazione in forma normale, portando tutti i termini al primo membro:

ora, consideriamo l'equazione associata:

e rappresentiamo nel piano cartesiano la funzione relativa all'equazione associata:

Possiamo determinare i punti di intersezione della parabola con l'asse x sapendo che in questi punti si ha y = 0, quindi risolviamo la seguente equazione:

Poiché la disequazione di partenza ha il simbolo

, sappiamo che dobbiamo considerare i punti della parabola che si trovano al di sotto dell'asse x, quindi la soluzioni della disequazione rappresentata dal seguente intervallo:

Possiamo anche scrivere:

Esempio: risolviamo, per via grafica, la seguente disequazione:

Per prima cosa, riduciamo la disequazione in forma normale:

Notiamo subito che, già a questo punto, possiamo capire che la disequazione è impossibile: infatti due quantità positive non possono essere minori di zero.

In ogni caso, rappresentiamo la funzione dell'equazione associata nel piano cartesiano:

I valori che soddisfano la disequazione sono i valori per cui la parabola si trova al di sotto dell'asse x, perché la disequazione che abbiamo nell'ultimo passaggio ha il verso

.

Ma la parabola si trova tutta al di sopra dell'asse x: ciò ci conferma che la disequazione impossibile.

Procedimento risolutivo

In generale, l'insieme delle soluzioni delle disequazioni di secondo grado è costituito da un intervallo, o dalla unione di due intervalli.

Se

sono i punti in cui la parabola interseca l'asse x, chiamiamo l'intervallo di questi estremi intervallo delle radici.

Inoltre, i numeri reali x che sono compresi tra i due estremi,

sono i valori interni dell'intervallo delle radici.

Mentre, i valori non sono interni all'intervallo delle radici, cioè tali che:

si dicono valori esterni all'intervallo delle radici.

Possiamo fissare delle regole generali per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado, ridotte in forma canonica:

Analizziamo i tre possibili casi che si hanno considerando il discriminante dei trinomi della disequazione:

• se
  [math] \displaystyle \delta \gt 0[/math]
  abbiamo che:
  
  • se
    [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \gt[/math]
    , o se
    [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \lt[/math]
    , le soluzioni della disequazione sono i valori esterni all'intervallo delle radici:
    [math] \displaystyle x \lt x_1 \vee x \gt x_2 [/math]
  • se
    [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \lt[/math]
    , o se
    [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \gt[/math]
    , le soluzioni della disequazione sono i valori interni all'intervallo delle radici:
    [math] \displaystyle x_1 \lt x \lt x_2 [/math]
• se
  [math] \displaystyle \delta = 0[/math]
  abbiamo che:
  
  • se
    [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \gt[/math]
    , o se (a \lt 0[/math] e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \lt[/math]
    , la disequazione è soddisfatta per tutti i valori di x;
  • se
    [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \lt[/math]
    , o se
    [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \gt[/math]
    , la disequazione è impossibile;
• se
  [math] \displaystyle \delta \lt 0[/math]
  abbiamo che:
  
  • se
    [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \gt[/math]
    , o se
    [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \lt[/math]
    , la disequazione soddisfatta per tutti i valori di x;
  • se
    [math] \displaystyle a \gt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \lt[/math]
    , o se
    [math] \displaystyle a \lt 0[/math]
    e la disequazione ha il simbolo
    [math] \displaystyle \gt[/math]
    , la disequazione è impossibile;

Nel caso in cui la disequazione abbia simbolo

, dobbiamo considerare anche i valori di x che annullano il trinomio al primo membro.

Esempio: risolviamo la seguente disequazione:

Per prima cosa, semplifichiamo la disequazione rendendola in forma normale:

Risolviamo l'equazione associata, trovando gli estremi dell'intervallo delle radici:

Poiché il trinomio deve essere minore di zero, e il primo coefficiente è positivo, la soluzione della disequazione è l'insieme dei valori che sono interni all'intervallo delle radico, quindi: