Introduzione alle disequazioni

Disuguaglianze

Per esprimere la relazione di disuguaglianza tra numeri si utilizzano i simboli di maggiore ( > ) e minore (

4 3

e la scrittura è equivalente se letta al contrario, cioé:

9 > 4 ; 3

Quindi, in generale possiamo dire che:

• [math]a \gt b[/math]
  : il numero a è maggiore del numero b;
  [math] a \ge b \leftrightarrow a \gt b \vee a = b [/math]
• [math]a \lt b[/math]
  : il numero a è minore del numero b;
  [math] a \le b \leftrightarrow a \lt b \vee a = b [/math]

Poi, si possono utilizzare anche i seguenti simboli: ( minore o uguale) ( maggiore o uguale ) per esprimere una relazione fra due numeri che può essere di disuguaglianza o di uguaglianza, cioé:

• [math] a \ge b[/math]
  : il numero a è maggiore o uguale del numero b;
• [math]a \le b[/math]
  : il numero a è minore o uguale del numero b;

Nelle disuguaglianze, il numero che si trova a sinistra del simbolo viene definito primo membro, mentre il numero che si trova a destra secondo membro.

Vediamo ora alcune proprietà di cui godono le disuguaglianze.

Precisiamo che, per disuguaglianza dello stesso verso si intende una disuguaglianza che abbia lo stesso simbolo della precedente; mentre, una disuguaglianza di verso opposto è una disuguaglianza che che il simbolo

( o ) se la disuguaglianza precedente aveva ( o ) e viceversa.

• Sommando o sottraendo una stessa quantità da ciascun membro di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso;

esempio: consideriamo la disuguaglianza e aggiungiamo ad entrambi i membri il numero 2:

oppure, sottraiamo il numero 4:

• Moltiplicando o dividendo per una stessa quantità positiva entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso;

esempio: consideriamo la disuguaglianza e moltiplichiamo entrambi i membri per 5:

ora, dividiamo entrambi per 3:

• Moltiplicando o dividendo per una stessa quantit negativa entrambi i membri di una disuguaglianza, si ottiene una disuguaglianza di verso opposto;

esempio: consideriamo la stessa disuguaglianza e moltiplichiamo entrambi i membri per -5:

ora, dividiamo entrambi per - 3:

• la disuguaglianza tra due numeri concordi di verso opposto a quello della disuguaglianza tra i loro reciproci;

esempio: consideriamo la disuguaglianza ; passando ai loro reciproci, abbiamo che:

Generalità sulle disequazioni

Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni in cui compare una o più lettere, dette incognite.

Così come le equazioni, anche le disequazioni possono essere numeriche, letterali, intere o frazionarie:

Disequazioni numeriche: disequazioni in cui figura solo la lettera che rappresenta l'incognita;

Disequazioni letterali: disequazioni in cui, oltre alla lettera incognita, compaiono altre lettere delle parametri;

Disequazioni intere: disequazioni in cui le incognite compaiono solo al numeratore delle frazioni eventualmente presenti;

Disequazioni frazionarie: disequazioni in cui le incognite compaiono anche al denominatore delle frazioni eventualmente presenti;

Come per le equazioni, le disequazioni si trasformano in disuguaglianze quando vi si sostituisce, al posto dell'incognita, un valore numerico; le disuguaglianze possono essere vere o false.

Dominio di una disequazione

Si definisce dominio di una disequazione l'insieme dei numeri reali che, se sostituiti all'incognita, trasformano la disequazione in una disuguaglianza dotata di significato, cioé vera o falsa.

esempio: consideriamo la disequazione

sappiamo che il denominatore di una frazione non può mai annullarsi, quindi dobbiamo escludere dalle possibili soluzioni quelle per cui il denominatore si annulla: la disequazione ha quindi domino:

Ecco alcune osservazioni sul dominio delle equazioni:

• Tutte le equazioni intere in una sola incognita hanno come dominio linsieme R dei numeri reali;
• Alcune disequazioni frazionarie possono avere come dominio R; sono quelle disequazioni in cui compare una frazione il cui denominatore non può mai annullarsi, ad esempio:
  [math] \frac{1}{x^2+4} \gt 0 [/math]