SISTEMA DI 3 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Oggi risolveremo un semplice sistema di tre disequazioni di secondo grado. Il sistema è il seguente:


[math]
\begin{cases} 4x^{2}+11x+7>0 \\
x^{2}+6x+9≥0 \\
3x^{2}-5x+2>0\end{cases}
[/math]


Cominciamo immediatamente a risolvere la prima, che è la seguente:


[math]4x^{2}+11x+7>0[/math]


Consideriamo l'equazione associata che è la seguente:


[math]4x^{2}+11x+7=0[/math]


Per determinare le due

[math]x[/math]
, quindi, si utilizza la formula che ben conoscete:


[math]x_{1,2}=\frac{-11±\sqrt{121-112}}{8}\ \to \frac{-11±3}{8}\\
\\
x_{1}=-1\\
\\
x_{2}=-\frac{7}{4}[/math]


Visto che questa disequazione mostra il segno maggiore, il risultato sarà composto da tutti i valori esterni a

[math]-\frac{7}{4}[/math]
e
[math]-1[/math]
, quindi i valori che risolvono questa disequazione sono i seguenti: (Non dobbiamo considerare gli estremi perché nella disequazione non compare il segno di
[math]=[/math]
)



Bene, andiamo avanti e risolviamo la seconda, che voglio ricordavi che è:


[math]x^{2}+6x+9≥0[/math]


Per quanto riguarda questa disequazione possiamo fare un'osservazione: possiamo notare che al primo membro compare un quadrato perfetto di binomio, infatti tutto ciò può essere scritto come:


[math](x+3)^{2}≥0[/math]


Ma noi sappiamo che un quadrato è sempre maggiore o uguale di

[math]0[/math]
, quindi questa disequazione è verificata per:


[math]∀x \in \mathbb{R}[/math]


Possiamo quindi passare direttamente alla terza, riscriviamola:


[math]3x^{2}-5x+2>0[/math]


In questo caso consideriamo l'equazione associata:


[math]3x^{2}-5x+2=0[/math]


E risolviamola molto semplicemente, determinando come

[math]x_{1,2}[/math]
i seguenti:


[math]x_{1,2}=\frac{5±\sqrt{25-24}}{6} \ \to \frac{5±1}{6}\\
\\
x_{1}=1\\
\\
x_{2}=\frac{2}{3}[/math]


Il risultato di questa disequazione prevede che si prendano tutti i valori esterni a

[math]\frac{2}{3}[/math]
e
[math]1[/math]
. Quindi il grafico sarà il seguente:



A questo punto, visto che noi non dimentichiamo che dobbiamo risolvere il sistema, dobbiamo considerare contemporaneamente le soluzioni comuni. Quindi vediamo:

--> La prima disequazione è risolta per i valori esterni a

[math]-\frac{7}{4}[/math]
e
[math]-1[/math]
. (In nero)


--> La seconda disequazione è risolta per ogni

[math]∀x \in \mathbb{R}[/math]
(In blu)


--> La terza disequazione, che considera i valori esterni a

[math]\frac{2}{3}[/math]
ed
[math]1[/math]
esclusi
[math]\frac{2}{3}[/math]
ed
[math]1[/math]
(In verde), ci permette di concludere il nostro grafico:



A questo punto non ci resta che prendere i valori comuni a tutte e tre le soluzioni per risolvere il nostro sistema. I valori comuni sono logicamente: (In rosso)



Possiamo quindi, infine, scrivere le soluzioni che sono le seguenti:


[math]
\begin{cases} 4x^{2}+11x+7>0 \\
x^{2}+6x+9≥0 \\
3x^{2}-5x+2>0\end{cases}
[/math]

[math]x<-\frac{7}{4} \cup -1<x<\frac{2}{3} \cup x>1[/math]


Come dimostrato dal grafico.

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