Equazioni esponenziali e logaritmiche: Risolvere il seguente sistema di disequazioni esponenziali: left{ \begin{array}{rl} frac{(\sqrt{49^x} - 7)(3^x - 1)}{64 - 2^x} ≥ 0 &\ frac{625^x · \sqrt{25^x}}{\sqrt{125}} = (frac{1}{5})^y & end{array}\right.

Risoluzione di un sistema di disequazioni esponenziali: applicazione delle principali regole di calcolo delle funzioni esponenziali

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Risolvere il seguente sistema di disequazioni esponenziali:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{(\sqrt{49^x} - 7)(3^x - 1)}{64 - 2^x} ≥ 0 &\
frac{625^x · \sqrt{25^x}}{\sqrt{125}} = (frac{1}{5})^y &
end{array}\right.
[math][/math]

Svolgimento

Cominciamo dalla prima disequazione:

[math] frac(\sqrt{49^x - 7}(3^x - 1))(64 - 2^x) ≥ 0 [/math]

[math] N ≥ 0 [/math]

[math] \sqrt{49^x - 7}(3^x - 1) ≥ 0 [/math]

Poniamo ciascun termine maggiore o uguale a zero:

[math] \sqrt{49^x - 7} ≥ 0 [/math]

Trasformiamo tutto in potenza:

[math] \sqrt{ 7^{2x} } ≥ 7 [/math]

[math] (7^{2x} )^{1/2} ≥ 7 [/math]

[math] 7^{2x \cdot 1/2} ≥ 7 [/math]

[math] 7^x ≥ 7 [/math]

Poiché le potenze hanno la stessa base, possiamo scrivere:

[math] x ≥ 1 [/math]

Passiamo al secondo termine:

[math] 3^x - 1 ≥ 0 \to 3^x ≥ 1 [/math]

Dato che qualunque numero elevato a zero è uguale a 1, abbiamo che:

[math] 3^x ≥ 3^0 \to x ≥ 0 [/math]

Studiamo il segno del numeratore:

studio_del_segno

Prendiamo gli intervalli positivi:

[math] x ≤ 0 ∨ x ≥ 1 [/math]

Passiamo al denominatore:

[math] D > 0 [/math]

[math] 64 - 2^x > 0 [/math]

Trasformiamo in potenza:

[math] 2^6 - 2^x > 0 [/math]

Cambiamo segno e invertiamo il verso:

[math] - 2^6 + 2^x > 0 [/math]

[math] 2^x > 2^6 \to x > 6 [/math]

Studiamo il segno fra numeratore e denominatore:

studio_del_segno

Prendiamo gli intervalli positivi:

[math] x ≤ 0 ∨ 1 ≤ x > 6 [/math]

Passiamo ora alla seconda disequazione:

[math] \sqrt{1 + 4^x} > frac(1)(\sqrt(4^x - 1)) [/math]

Poniamo

[math]4^x - 1 > 0 \to 4^x > 1 \to x > 0 [/math]
.

Eleviamo tutto al quadrato:

[math] (\sqrt{1 + 4^x})^2 > (frac(1)(\sqrt(4^x - 1)))^2 [/math]

[math] 1 + 4^x > frac(1)(4^x - 1) [/math]

[math] 1 + 4^x - frac(1)(4^x - 1) > 0 [/math]

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

[math] frac((1 + 4^x)(4^x - 1) - 1 )(4^x - 1) > 0 [/math]

[math] frac( 4^x + 4^{2x} - 1 - 4^x - 1 )(4^x - 1) > 0 [/math]

[math] frac( 4^{2x} - 2 )(4^x - 1) > 0 [/math]

Trasformiamo in potenze del 2:

[math] frac( 2^{4x} - 2 )(2^{2x} - 1) > 0 [/math]

[math] N > 0 [/math]

[math] 2^{4x} - 2 > 0 \to 2^{4x} > 1 [/math]

[math] 4x > 1 \to x > 1/4 [/math]

[math] D > 0 [/math]

[math] 2^{2x} - 2 > 0 \to 2^{2x} > 1 [/math]

[math] 2x > 0 \to x > 0 [/math]

Studiamo il segno:

studio_del_segno

Prendiamo gli intervalli positivi:

[math] x > 0 ∨ x > 1/4 [/math]

Torniamo al sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x ≤ 0 ∨ 1≤ x x frac{1}{4} &
end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni:

[math] x > 0 ∨ 1 >= x > 6 [/math]

Tuttavia, considerando le condizioni di esistenza poste in precedenza, dobbiamo escludere i risultati minori o uguali a zero; le soluzioni saranno quindi:

[math] 1 >= x > 6 [/math]

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