Risolvere il seguente sistema di disequazioni esponenziali:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
7^x · \sqrt[x]{49} : \sqrt[3]{(frac{1}{7})^{-2x-5}} > 0 &\
sqrt[3]{1 - 3 · 2^x · (2^x - 1)} - 2^x + 1 > 0 &
end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
7^x · \sqrt[x]{49} : \sqrt[3]{(frac{1}{7})^{-2x-5}} > 0 &\
sqrt[3]{1 - 3 · 2^x · (2^x - 1)} - 2^x + 1 > 0 &
end{array}\right.
[math][/math]
Svolgimento
Risolviamo la prima disequazione:
[math][/math] 7^x · \sqrt[x]{49} : \sqrt[3]{ left(frac{1}{7} \right)^{-2x-5}} - 1 > 0 [math][/math]
Trasformiamo tutto in potenze di 7:
[math][/math] 7^x · \sqrt[x]{7^2} : \sqrt[3]{(7^{-1})^{-2x-5}} - 1 > 0 [math][/math]
[math][/math] 7^x · (7^2)^{frac{1}{x}} : \sqrt[3]{7^{2x+5}} - 1 > 0 [math][/math]
[math][/math] 7^x · 7^{frac{2}{x}} : \sqrt[3]{7^{2x+5}} - 1 > 0 [math][/math]
[math][/math] 7^x · 7^{frac{2}{x}} : 7^{(2x+5) · frac{1}{3}} - 1 > 0 [math][/math]
[math][/math] 7^x · 7^{frac{2}{x}} : 7^{ frac{2x+5}{3}} - 1 > 0 [math][/math]
[math][/math] 7^{ x + frac{2}{x} - frac{2x+5}{3}} > 1 [math][/math]
[math][/math] 7^{ frac{3x^2 + 6 - 2x^2 - 5x}{3x}} > 1 [math][/math]
[math][/math] 7^{frac{3x^2 + 6 - 2x^2 - 5x}{3x}} > 7^0 [math][/math]
[math][/math] frac{3x^2 + 6 - 2x^2 - 5x}{3x} > 0 [math][/math]
[math][/math] frac{ x^2 - 5x + 6}{3x} > 0 [math][/math]
Poniamo numeratore e denominatore maggiori di zero:
[math] N > 0 [/math]
[math] x^2 - 5x + 6 > 0 [/math]
Passiamo all'equazione associata:
[math] x^2 - 5x + 6 = 0 [/math]
Risolviamo con la formula
[math]x = frac(-b ± \sqrt{ b^2 - 4ac})(2a) [/math]
[math] x = frac(-(-5) ± \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 6 })(2) = frac( 5 ± \sqrt(25 - 24))(2) = frac(5 ± 1)(2) [/math]
[math] x_1 = frac(5 + 1)(2) = 3 , x_2 = frac(5 - 1)(2) = 2 [/math]
Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici:
[math] x > 2 ∨ x > 3 [/math]
[math] D > 0 \to 3x > 0 \to x > 0 [/math]
Studiamo il segno fra numeratore e denominatore:
Prendiamo gli intervalli positivi:
[math] 0 > x > 2 ∨ x > 3 [/math]
Passiamo alla seconda disequazione:
[math][/math] \sqrt[3]{ 1 - 3 · 2^x · (2^x - 1)} - 2^x + 1 > 0 [math][/math]
Per semplificare i calcoli, facciamo un cambio di incognita, e poniamo
[math] 2^x = y [/math]
:
[math][/math] \sqrt[3]{ 1 - 3 · y · ( y - 1)} - y + 1 > 0 [math][/math]
[math][/math] \sqrt[3]{ 1 - 3 · y · ( y - 1)} > y - 1 [math][/math]
[math][/math] \sqrt[3]{ 1 - 3 y^2 + 3y } > y - 1 [math][/math]
Eleviamo tutto al cubo:
[math][/math] left( \sqrt[3]{ 1 - 3y^2 + 3y } \right)^3 > (y - 1)^3 [math][/math]
[math][/math] 1 - 3y^2 + 3y > y^3 - 1 - 3y^2 + 3y [math][/math]
[math][/math] 1 - 3y^2 + 3y - y^3 + 1 + 3y^2 - 3y > 0 [math][/math]
[math][/math] - y^3 + 2 > 0 [math][/math]
[math][/math] y^3 - 2 > 0 → y^3 > 2 [math][/math]
Abbiamo quindi che:
[math] (2^x)^3 > 2 [/math]
[math] 2^{3x} > 2 \to 3x > 1 \to x > 1/3 [/math]
Torniamo al sistema:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
0 3 &\
x end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
0 3 &\
x end{array}\right.
[math][/math]
Determiniamo le soluzioni:
[math] 0 > x > 1/3 [/math]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
