Risolvere il seguente sistema di equazioni esponenziali:
[math][/math]
left{ egin{array}{rl}
36 6^{x-y} = 6^{2x} &\
49^x sqrt{7^y} = 1 &
end{array}
ight.
[math][/math]
left{ egin{array}{rl}
36 6^{x-y} = 6^{2x} &\
49^x sqrt{7^y} = 1 &
end{array}
ight.
[math][/math]
Svolgimento
Prendiamo in considerazione la prima equazione:
[math] 36 \cdot 6^{x - y} = 6^{2x}[/math]
Trasformiamo tutto in potenze e moltiplichiamo:
[math] 6^2 \cdot 6^{x - y} = 6^{2x}[/math]
[math] 6^{x - y + 2} = 6^{2x}[/math]
Poich le potenze hanno la stessa base, possiamo uguagliare gli esponenti:
[math] x - y + 2 = 2x o x - y + 2 - 2x = 0 [/math]
[math] -x - y + 2 = 0 o x + y -2 = 0[/math]
Passiamo ora alla seconda equazione:
[math] 49^x \cdot \sqrt{7^y} = 1 [/math]
Allo stesso modo, trasformiamo tutto in potenza:
[math] 7^{2x} \cdot (7^y)^{1/2} = 1 o 7^{2x} \cdot 7^{y/2} = 1 [/math]
[math] 7^{2x + y/2} = 1 [/math]
Possiamo scrivere
[math]1[/math]
come [math] 7^0[/math]
:
[math] 7^{2x + y/2} = 7^0 [/math]
Poich le potenze hanno la stessa base, possiamo uguagliare gli esponenti:
[math] 2x + 1/2 y = 0 [/math]
[math] 4x + y = 0 [/math]
Ritorniamo al sistema:
[math][/math]
left{ egin{array}{rl}
x + y - 2 = 0 &\
4x + y = 0 &
end{array}
ight.
[math][/math]
left{ egin{array}{rl}
x + y - 2 = 0 &\
4x + y = 0 &
end{array}
ight.
[math][/math]
Risolviamo per sottrazione:
[math] [x + y - 2 = 0] + [ - 4x - y = 0] o - 3x - 2 = 0 [/math]
[math] 3x + 2 = 0 o x = - 2/3 [/math]
Troviamo il corrispondente valore di
[math]y[/math]
:
[math] 4 (- 2/3) + y = 0 o - 8/3 + y = 0 o y = 8/3[/math]
![Equazioni esponenziali e logaritmiche: Risolvere il seguente sistema di disequazioni esponenziali: left{ \begin{array}{rl} 7^x · \sqrt[x]{49} : \sqrt[3]{(frac{1}{7})^{-2x-5}} > 0 &\ \sqrt[3]{1 - 3 · 2^x · (2^x - 1)} - 2^x + 1 > 0 & end{array}\rig](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2017/08/Schermata-2017-08-19-alle-17.20.38-300x121.png)
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