Equazioni esponenziali e logaritmiche: Determinare le condizioni di esistenza della seguente funzione: y = sqrt(frac(1 + log_(1/4) (x - 2))((1/3)^(2x) - (frac(1)(27))^5) )

Determinare le condizioni di esistenza di una funzione contenente logaritmi; applicazione delle regole logaritmiche, studio del segno...

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Determinare le condizioni di esistenza della seguente funzione:

[math] y = \sqrt{frac(1 + \\log_(1/4) (x - 2))((1/3)^{2x} - (frac(1)(27))^5) }[/math]

Svolgimento

Nel determinare le condizioni di esistenza, poniamo l'argomento del logaritmo maggiore di zero, e tutto il radicando maggiore o uguale a zero:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x - 2 > 0 &\
frac{1 + log_{frac{1}{4}} (x - 2)}{( frac{1}{3})^{2x} - (frac{1}{27})^5} ≥ 0 &
end{array}\right.
[math][/math]

Risolviamo la prima disequazione:

[math] x - 2 > 0 \to x > 2 [/math]

Passiamo ora alla seconda:

[math] frac(1 + \\log_(1/4) (x - 2))((1/3)^{2x} - (frac(1)(27))^5) ≥ 0 [/math]

Cominciamo dal numeratore:

[math] N ≥ 0 [/math]

[math] 1 + \\log_(1/4) (x - 2) ≥ 0[/math]

Secondo un proprietà dei logaritmi, sappiamo che:

[math] \\log_a(b) = frac(\\log_c(b))(\\log_c(a)) [/math]

Di conseguenza, abbiamo che:

[math] 1 + frac(\\log_(2) (x - 2))(\\log_2 (1/4)) ≥ 0[/math]

Possiamo risolvere il logaritmo al denominatore, sapendo che esso è uguale all'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento:

[math] 1 + frac(\\log_(2) (x - 2))(\\log_2 (1/(2^2))) ≥ 0[/math]

[math] 1 + frac(\\log_(2) (x - 2))(\\log_2 (2^{-2})) ≥ 0[/math]

[math] 1 + frac(\\log_(2) (x - 2))(- 2) ≥ 0[/math]

[math] frac(\\log_(2) (x - 2))(- 2) ≥ - 1 [/math]

Calcoliamo il minimo comune multiplo:

[math] \\log_2 (x - 2) ≤ 2 [/math]

Sapendo che

[math]\\log_a (a) = 1 [/math]
, possiamo scrivere il secondo membro in questo modo:

[math] \\log_2 (x - 2) ≤ 2 \\log_2 (2) [/math]

Applicando la seguente proprietà dei logaritmi

[math] \\log_a (b^k) = k \\log_a (b) [/math]
si ha che:

[math] \\log_2 (x - 2) ≤ \\log_2 (2^2) [/math]

[math] \\log_2 (x - 2) ≤ \\log_2 (4) [/math]

Poiché i logaritmi hanno la stessa base, possiamo risolvere la disequazione in questo modo:

[math] x - 2 ≤ 4 \to x ≤ 6 [/math]

Passiamo ora allo studio del denominatore:

[math] D > 0 \to (1/3)^{2x} - (frac(1)(27))^5 > 0 [/math]

Trasformiamo le potenze in potenze che hanno la stessa base:

[math] (1/3)^{2x} - (frac(1)(3^3))^5 > 0 [/math]

[math] (3^{-1})^{2x} - (3^{-3})^5 > 0 [/math]

[math] 3^{-2x} - 3^{-15} > 0 [/math]

[math] 3^{-2x} > 3^{-15} [/math]

Poiché le potenze hanno la stessa base, risolviamo la disequazione in questo modo:

[math] - 2x > - 15 \to 2x > 15 \to x > frac(15)(2) [/math]

Studiamo il segno fra numeratore e denominatore:

studio_del_segno

Poiché la disequazione è maggiore o uguale a zero, prendiamo come soluzioni gli intervalli esterni alle radici:

[math] x ≤ 6 ∨ x > frac(15)(2) [/math]

Torniamo al sistema:

[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
x > 2 &\
x ≤ 6 ∨ x > frac{15}{2} &
end{array}\right.
[math][/math]

Determiniamo le soluzioni:

[math] 2>x≤6 ∨ x > frac(15)(2) [/math]

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