Proprietà invariantiva della sottrazione

In questo appunto di Algebra viene data la definizione di sottrazione e di proprietà invariantiva della sottrazione e vengono proposti alcuni esempi pratici che hanno l'obiettivo di spiegare in modo concreto sia come sia possibile effettuare l'operaizone di sottrazione, sia come applicare la proprietà invariantiva. Alla fine del testo è presente una breve analisi del termine "invariantiva" all'interno del contesto matematico.

Definizione di sottrazione

La sottrazione in ambito matematico è definita come l'operazione che a due numeri associa un terzo numero, chiamato differenza, il quale, sommato al minore dei due numeri precedenti, dà come risultato il maggiore.

Volendo mettere l'operazione di sottrazione in relazione con una fra le quattro operazioni fondamentali (sottrazione, addizione, moltiplicazione e divisione) possiamo dire che essa è l'inverso dell'addizione.

Andando a vedere da vicino i membri di un'addizione possiamo definire tre elementi base:

In questo caso andiamo a definire:

• A è il minuendo
• B è il sottraendo
• C è il risultato

Il minuendo e il sottraendo vengono definiti anche termini della sottrazione

Quando eseguiamo una sottrazione dobbiamo verificare che

:

• [math]A>=B[/math]
Ciò vuol dire che l'operaizone è possibile poichè la quantità che tolgo è minore o uguale della quantità che possiedo

• [math]A>B[/math]
Ciò vuol dire che l'operaizone "non è possibile" poiché la quantità che vorrei togliere è maggiore della quantità che possiedo.

Per verificare che l'operazione appena effettuata sia stata eseguita correttamente è possibile effettuare una verifica, come viene anche definito dalla definizione stessa di sottrazione, si può cioè addizionare il risultato al sottraendo e se l'operazione è stata eseguita correttamente otteniamo il minuendo.

La sottrazione presenta anche un elemento detto neutro: tale elemento è lo zero. Lo zero viene definito in questo modo perché la differenza tra un qualsiasi numero e zero è uguale al primo numero.

Definizione di proprietà invariantiva della sottrazione

La sottrazione non gode della proprietà commutativa di cui gode l'addizione; gode però di un'altra proprietà molto importante, che l'addizione non ha: la proprietà invariantiva.

Proprietà invariantiva della sottrazione: la differenza di due numeri non cambia se a ciascuno di essi si addiziona o si sottrae, se ciò è possibile, uno stesso numero.

In simboli:

oppure

se

Di seguito vengono proposti due semplici esempi che aiutano a comprendere l'applicazione della proprietà appena enunciata:

1. 36 - 12 = 24
addizioniamo 3 al minuendo e al sottraendo:
(36 + 3) - (12 + 3) = 39 - 15 = 24.

2. 49 — 12 = 37
sottraiamo 8 al minuendo e al sottraendo:
(49 -8) - (12- 8) = 41 - 4 = 37.

Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle operazioni vedi anche qua

Applicazioni della proprietà invariantiva

Per spiegare tale proprietà andiamo ad applicarla all'interno di un esempio più complesso.

Due fratelli possiedono rispettivamente 20 e 15 pastelli, la differenza tra il numero dei pastelli posseduti dai due fratelli è 5:

Se la loro mamma regala ad entrambi 4 pastelli, il primo avrà

pastelli ed il secondo

pastelli; anche in questo caso la differenza tra il numero dei pastelli sarà ancora 5:

Anche se togliamo ad entrambi i fratelli lo stesso numero di pastelli, ad esempio 3, la differenza sarà ancora 5:

Il linguaggio della matematica

Con il termine invariantiva si indica un qualcosa che non varia, che non produce cambiamento. La proprietà invariantiva, infatti, riguarda operazioni il cui risultato non cambia anche se si modificano, secondo certe regole, i loro termini.

Per ulteriori approfondimenti sul linguaggio della matematica vedi anche qua