Come risolvere un'equazione con prodotti notevoli e frazioni

Scopri come risolvere passo dopo passo un'equazione frazionaria con prodotti notevoli, eliminando i denominatori e semplificando l'espressione per ottenere la soluzione.

Anthrax606
di Anthrax606
Genius
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Indice

  1. Equazioni con prodotti notevoli fratta
  2. Il procedimento

Equazioni con prodotti notevoli fratta

Abbiamo la seguente equazione:

[math]\frac{(x-4)(x+4)}{2}+\frac{1}{2}x=\frac{(2x-6)^{2}}{4}-10[/math]

Come possiamo osservare, ci troviamo difronte ad un'equazione con frazioni avente dei prodotti notevoli da risolvere. Andiamo a capire quali sono:

1.

[math](x-4)(x+4)[/math]
è una somma per la differenza tra due monomi e si calcola facendo il quadrato del primo termine (
[math]x[/math]
) - il quadrato del secondo termine (
[math]4[/math]
)

2.

[math](2x-6)^{2}[/math]
si tratta del quadrato di un binomio che si ottiene eseguendo il quadrato del primo termine (
[math]2x[/math]
) + il quadrato del secondo termine (
[math]6[/math]
) [come vedete il
[math]6[/math]
è accompagnato da un
[math]-[/math]
, ma dovete sapere che il quadrato di un qualsiasi numero negativo è sempre pari] ± il doppio prodotto del primo per il secondo termine.

Il procedimento

Procediamo ad eseguire:

[math]\frac{(x-4)(x+4)}{2}+\frac{1}{2}x=\frac{(2x-6)^{2}}{4}-10\\ [/math]
[math]\frac{x^{2}-16}{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4x^{2}+36-24x}{4}-10[/math]

Una volta che abbiamo calcolato i prodotti notevoli, procediamo ad eseguirla! Ora dobbiamo far "scomparire" la frazione in modo tale da ottenere un'equazione equivalente ad essa. Come procediamo? Dobbiamo calcolare il minimo comune multiplo di tutte le frazioni di ambedue i membri dell'equazione ed eseguire come un normale calcolo letterale, calcolando le frazioni equivalenti.

Il minimo comune multiplo di tutte le frazioni di ambedue i membri è:

[math]m.c.m.=(2;2;4)=4[/math]

A questo punto tracciamo una linea per il primo membro ed una linea per il secondo membro, e andiamo a trovarci le frazioni equivalenti.

[math]\frac{4x^{2}-32+2x}{4}\ =\ \frac{4x^{2}+36-24x-40}{4}[/math]

Ma abbiamo ancora delle frazioni, quindi procediamo applicando il secondo principio di equivalenza: Moltiplicando o dividendo (in questo caso moltiplicando) entrambi i membri per uno stesso numero (è preferibile moltiplicare entrambi i membri per

[math]4[/math]
, dal momento che è il denominatore di ambedue i membri) si ottiene un'equazione equivalente. Dunque:

[math]4\cdot\ \frac{4x^{2}-32+2x}{4}\ =\ 4\cdot \ \frac{4x^{2}+36-24x-40}{4} [/math]
[math]\not{4}\cdot \ \frac{4x^{2}-32+2x}{\not 4}\ =\ \not{4}\cdot \ \frac{4x^{2}+36-24x-40}{\not 4}[/math]

Una volta "tolti" i denominatori con il secondo principio di equivalenza, abbiamo ottenuta una nuova equazione equivalente a quella data:

[math]4x^{2}-32+2x\ =\ 4x^{2}+36-24x-40[/math]

A questo punto dobbiamo "spostare" tutti i coefficienti incogniti (ossia quei termini con la

[math]x[/math]
) al primo membro e tutti i coefficienti noti (ossia quei termini senza
[math]x[/math]
) al secondo membro. Applichiamo dunque la REGOLA DEL TRASPORTO: E' possibile spostare un coefficiente (incognito o noto) dal primo membro al secondo o viceversa, semplicemente cambiandogli il segno. Andiamo ad applicare la seguente regola:

[math]4x^{2}-32+2x\ =\ 4x^{2}+36-24x-40[/math]
[math]4x^{2}-4x^{2}+2x+24x\ =\ 32+36-40[/math]

Essendo i termini

[math]4x^{2}-4x^{2}[/math]
opposti, li andiamo ad eliminare:

[math]\not{4x^{2}}\not{-4x^{2}}+2x+24x\ =\ 32+36-40 [/math]
[math]2x+24x\ =\ 32+36-40[/math]

A questo punto, sommiamo algebricamente i coefficienti noti ed incogniti fino a ridurre l'equazione in

[math]ax=b[/math]
, ossia fino ad ottenere un solo coefficiente incognito (al primo membro) ed un solo coefficiente noto (al secondo membro). Dunque:

[math]2x+24x\ =\ 32+36-40 [/math]
[math]26x\ =\ 28[/math]

Ora applichiamo un'altra volta il secondo principio di equivalenza: Moltiplicando o dividendo (in questo caso dividendo) entrambi i membri per uno stesso numero (in questo caso dividiamo entrambi i membri per 26 che risulta essere il termine incognito) otteniamo una nuova equazione equivalente.

[math]26x\ =\ 28[/math]

[math]x=\ \frac{28}{26}[/math]
[math]x=\frac{\not{28^{14}}}{\not{26_{13}}}[/math]

Che semplificando si ottiene:

[math]x=\ \frac{14}{13}[/math]
--> SOLUZIONE

Bene! Abbiamo trovato la soluzione della nostra equazione. Andiamo a ricapitolare i vari passaggi:

[math]\frac{(x-4)(x+4)}{2}+\frac{1}{2}x=\frac{(2x-6)^{2}}{4}-10[/math]
[math]\frac{x^{2}-16}{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4x^{2}+36-24x}{4}-10 [/math]
[math] 4\cdot \ \frac{4x^{2}-32+2x}{4}\ =\ 4\cdot \ \frac{4x^{2}+36-24x-40}{4} [/math]
[math] \not{4}\cdot \ \frac{4x^{2}-32+2x}{\not 4}\ =\ \not{4}\cdot \ \frac{4x^{2}+36-24x-40}{\not 4}[/math]
[math] 4x^{2}-32+2x\ =\ 4x^{2}+36-24x-40 [/math]
[math] 4x^{2}-4x^{2}+2x+24x\ =\ 32+36-40 [/math]
[math] \not{4x^{2}}\not{-4x^{2}}+2x+24x\ =\ 32+36-40 [/math]
[math] 2x+24x\ =\ 32+36-40 [/math]
[math] 26x\ =\ 28 [/math]
[math] x=\frac{\not{28^{14}}}{\not{26_{13}}} [/math]
[math] x=\frac{14}{13} \to \ soluzione[/math]

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