Problema di Fibonacci

Fibonacci, Leonardo- problema del mercante

un mercante che vive a Pisa decide di fare un viaggio d’affari per vendere le sue merci e partendo da Pisa si reca a Lucca.
in questa città riesce a ricavare il doppio di quanto possedeva alla sua partenza da Pisa, anche se poi spende 12 denari.
partendo da Lucca si dirige a Firenze, dove ricava il doppio di quanto aveva guadagnato nella precedente tappa, spendendo poi ancora 12 denari.
tornando a Pisa, ricava nuovamente il doppio di quanto ha guadagnato a Firenze, spendendo ancora 12 denari.
alla fine del suo viaggio, rientrato a Pisa, il mercante si accorge di non avere più neanche un denaro.
quanti denari aveva all’inizio del suo viaggio?
quanto ha guadagnato in ogni singola tappa nelle città sopra elencate?

Svolgimento

il problema può essere risolto impostando una semplice equazione di primo grado, la cui risoluzione non richiede l’uso della calcolatrice.
sia x la quantità di denari con cui il mercante inizia il suo viaggio da pisa, ossia la nostra incognita, quindi poniamo:
x = denari inizialmente posseduti dal mercante
in funzione di tale variabile troviamo l’espressione di quanto guadagna il mercante in ogni tappa del suo viaggio (ovviamente tolte le spese):

-ricavi ottenuti a Lucca: 2x-12
-ricavi ottenuti a Firenze: 2(2x-12)-12
-ricavi ottenuti rientrando a Pisa: 2[2(2x-12)-12]-12

il testo ci dice che il mercante, una volta rientrato a Pisa, si rende conto di non avere con se alcun denaro.
questo vuol dire che il suo ultimo guadagno, tolti i 12 denari di spese, è pari a zero.
quindi basta imporre che i ricavi ottenuti rientrando a pisa siano pari a zero:

2[2(2x-12)-12]-12 = 0

dividendo entrambi i membri dell’equazione per due si ottiene:

[2(2x-12)-12]-6=0
ossia

2(2x-12)-12-6=0

divido ancora i due membri dell’equazione per due ottenendo quanto segue:

(2x-12)—6-3=0
2x-12—6-3=0
2x=12+6+3
2x=21
x=21/2
da cui si ricava:
x = 10, 5 denari
se ne conclude che il mercante parte da Pisa con 10,5 denari.
possiamo calcolare adesso la quantità di denari cui dispone in ogni tappa del suo viaggio.

Lucca: 2x-12 = 2(10,5) – 12 = 21-12 = 9 denari
il mercante, partendo da Lucca, dispone di 9 denari;

Firenze: 2(2x-12)-12 = 2(21-12)-12 = 2(9)-12 = 18 -12 = 6 denari
il mercante, partendo da Firenze, dispone di 6 denari;

rientro a Pisa:
2[2(2x-12)-12]-12=2[2(21-12)-12]-12=2[2(9)-12]-12=2[18-12]-12=2[6]-12=12-12=0
il mercante rientrando a Pisa, guadagna 12 denari, ma spendendone altrettanti come ha fatto per ogni tappa, ha azzerato il tutto.
quindi al suo rientro a Pisa non ha denari.