L’identità di Fibonacci
A cura di Flavio Cimolin (ultimo aggiornamento: 14/10/2006)
Sapreste trovare sei numeri naturali che soddisfino la seguente uguaglianza?
(A2 + B2) * (C2 + D2) = E2 + F2
Il compito non sembra affatto facile, data la difficoltà in generale di risolvere equazioni diofantee (ovvero riguardanti numeri interi) di grado superiore al primo.
Eppure in questo caso la soluzione esiste, ed è anche molto elegante. Essa è data dalla seguente identità puramente algebrica, nota appunto con il nome di Identità di Fibonacci:
Per qualsiasi numero intero inserito al posto delle variabili a, b, c, d, l’identità si verifica sempre!
E così, ad esempio, sostituendo i valori 2, 1, 3, 2 rispettivamente per a, b, c, d, si scopre che:
(22 + 12)*(32 + 22) = 42 + 72
E si possono trovare infiniti altri esempi.
Credete sia finita qui? Invece no, esiste un’altra identità simile che è ancora più bella, e che riguarda somma e prodotto di ben 4 quadrati.
L’analogia di questa identità, trovata da Eulero, con la precedente, è veramente notevole:
Ovviamente grazie a questa spettacolare formula diventa facilissimo trovare soluzioni dell’equazione diofantea:
(A2 + B2 + C2 + D2) * (E2 + F2 + G2 + H2) = I2 + L2 + M2 + N2
Quindi, ad esempio, si può ricavare l’identità numerica:
(12 + 22 + 32 + 42) * (52 + 62 + 72 + 82) = 122 + 242 + 302 + 602
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