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Numeri fattoriali

Dato

[math]n[/math]
un numero intero con
[math]n \ge 1[/math]
, il prodotto di tutti i numeri interi compresi fra
[math]1[/math]
e
[math]n[/math]
viene chiamato fattoriale di
[math]n[/math]
, e viene indicato come
[math]n![/math]
. (letto come n fattoriale, Es : 5! Letto come cinque fattoriale ).

Anzitutto, definiamo il fattoriale di 0, quindi poniamo

[math]0! = 1[/math]
, di seguito si avrà :
[math]0! = 1, 1! = 1, 2!= 2∙1 =2[/math]
ecc..

Notiamo che per

[math]n \ge 2[/math]
possiamo scrivere
[math]n![/math]
nella seguente formula:

[math]n! = 1∙2∙\ldots∙n = (n – 1)!∙n [/math]

E’ possibile usare questa formula solo per

[math]n \ge 2[/math]
perché non avrebbe senso utilizzarla con
[math]n < 2[/math]
, vi mostro un esempio in entrambi i casi :

Con n ≥ 2
[math]5! = 1∙2∙3∙4∙5 = (5 – 1)!∙5\\
5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 4!∙5\\
5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 4∙3∙2∙1∙5 [/math]

Con n < 2

[math]1! = 1 = (1 – 1)!∙1\\
1! = 1 = 0!∙1\\
1! = 1 = 1[/math]


Esempio :
Supponendo di avere un urna di

[math]n[/math]
palline di colore diverso ( con
[math]n \ge 2[/math]
), quante estrazioni possibili possiamo fare?
Ipotizzando di avere 10 palline nell’urna, in quanti modi diversi possiamo estrarre le palline dall’urna?
- Alla nostra prima estrazione, abbiamo la possibilità di scegliere tra le 10 palline presenti nell’urna,
- Alla nostra seconda estrazione, abbiamo la possibilità di scegliere tra le
[math]10- 1 =9[/math]
palline presenti (poiché una è stata scelta al punto precedente )
- Alla nostra nona estrazione abbiamo la possibilità di scegliere tra le
[math]10-8=2[/math]
palline presenti, e così via..
Quindi in totale avremo
[math]n∙(n – 1)∙\ldots∙2∙1 = n![/math]
risultati diversi dall’estrazione delle palline, dove
[math]n[/math]
rappresenta il numero di possibili permutazioni di
[math]n[/math]
oggetti ordinati.
Nel caso in cui vogliamo un numero
[math]k[/math]
di estrazioni ( con
[math]0<k<n[/math]
) dobbiamo utilizzare la seguente formula :

[math]\frac{n!}{(n-k)!}[/math]

che rappresenta il numero di possibili disposizioni di

[math]n[/math]
oggetti distinti in seguenza di
[math]k[/math]

Esempio:
Prendendo come riferimento l’esempio precedente, in

[math]10[/math]
palline di colore diverso ho
[math]10! = 3628800[/math]
risultati diversi dall’estrazione delle palline, ma nel caso in cui ho
[math]10[/math]
palline, quanti risultati diversi dall’estrazione posso avere con
[math]k = 5[/math]
estrazioni?
Per ottenere quanti risultati diversi posso ottenere con
[math]k[/math]
estrazioni eseguo il seguente calcolo :

[math]\frac{10!}{(10-5)!}=\frac{10!}{5!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!}=30240[/math]

ed eseguendo i dovuti calcoli, ottengo 30240 risultati diversi dall’estrazione con 5 estrazioni.
Nel caso in cui vorremmo avere anche la ripetizione del colore delle palline, ciò significa che ad ogni pallina che togliamo dall’urna, ne dobbiamo immettere un'altra dello stesso colore. Se effettuiamo

[math]k[/math]
estrazioni, con
[math]k > 0[/math]
arbitrario, avremo
[math]n^k[/math]
sequenze possibili di colori , dove
[math]n^k[/math]
è il numero delle disposizioni di
[math]n[/math]
oggetti in sequenza di
[math]k[/math]
, con ripetizione.

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