I numeri di fibonacci e la sezione aurea

Quante coppie di conigli discendono in

un anno da una coppia?

«Un tale mise una coppia di

conigli in un luogo

completamente circondato da

un muro, per scoprire quante

coppie di conigli

discendessero da questa in un

anno: per natura le coppie di

conigli generano ogni mese

un'altra coppia e cominciano

a procreare a partire dal

secondo mese dalla nascita.»

Liber Abaci

Risoluzione del problema

Fibonacci risolse questo problema con una successione che

prevedeva che le coppie generate ogni mese fossero la somma

di quelle generate nei due mesi precedenti:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377

Cos’è una Successione?

In matematica, una Successione è un elenco

ordinato di un numero infinito di oggetti, detti

termini della successione, tra i quali è possibile

distinguere un primo, un secondo, un terzo e in

generale un termine per ogni intero A

n-mo n.

differenza di quanto avviene per gli insiemi, per

una successione è rilevante l'ordine in cui gli

oggetti si trovano, e uno stesso oggetto può

comparire più volte.

Formalmente, una Successione viene definita come

una funzione che associa a un numero Naturale n

.

un numero Reale a n

Rappresentando la Successione sul Piano

Cartesiano, non si ottiene una curva ma un insieme

discreto di punti.

La successione di Fibonacci

In particolare, la successione

di Fibonacci è una

successione di numeri interi

definiti dalla coppia 1,1 in

cui l’elemento successivo è

dato dalla somma dei due

a = a + a con n > 1 precedenti.

n n-1 n-2 Successioni di questo tipo, in

cui ogni termine è definito

F = 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, come una certa funzione dei

n

34, 55, 89, 144, 233, 377, termini precedenti, sono

610, 987, 1597, 2584, 4181, chiamate successioni

6765, 10946, 17711, 28657, o

ricorrenti ricorsive.

46368, 75025, 121393...

Proprietà della Successione

I numeri di Fibonacci godono di una stupefacente gamma di proprietà di

grande interesse:

• Qualsiasi numero della successione e quello che lo precede sono primi

tra loro, ossia non hanno fattori primi comuni.

• Dividendo qualunque numero per il secondo che lo precede nella

sequenza, si ottiene sempre 2 come risultato e come resto il numero

immediatamente precedente il divisore.

a / a = 2 con il resto di a

n n-2 n-3

• la somma di tutti i numeri di Fibonacci fino ad un punto scelto, più 1, è

uguale al numero di Fibonacci situato due posti avanti.

a + a + a + 1 = a ovvero 1 + 1 + 2 + 1= 5

1 2 3 5

• la somma dei quadrati dei numeri della successione, fino ad un punto

qualsiasi, è uguale all’ultimo numero considerato moltiplicato per il

successivo

Proprietà fondamentale

Certamente la proprietà principale e più utile nelle

/ F , al tendere di

scienze è quella per cui il rapporto F n n-1

all’infinito, tende al numero algebrico irrazionale

n

chiamato numero di Fidia e definito cn la lettera greca Φ.

Applicazioni della Successione di Fibonacci:

MATEMATICA

In matematica, si noti come la successione di Fibonacci sia

strettamente legata al triangolo di Pascal.

Questo triangolo è un metodo, o meglio una costruzione, per

ottenere i coefficienti binomiali, ossia i coefficienti dello sviluppo

del binomio elevato ad una qualsiasi potenza

(a+b) n.

Considerando le ovvero quelle linee ottenute

diagonali ascendenti,

spostandosi ogni volta di una riga sotto e due numeri a sinistra, la

somma dei numeri su queste righe è un numero di Fibonacci

Applicazioni della Successione di Fibonacci:

ECONOMIA

Un’applicazione moderna

nell’economia dei numeri di Fibonacci

si può riscontrare presso la borsa

azionistica di Milano. Prendendo

spunto da questa successione, uno dei

più grandi protagonisti della storia

della matematica, Ralph Elson Elliot

elaborò una precisa teoria di previsione

dei mercati finanziari con la quale in

tempi recenti sono stati anticipati i più

grandi rialzi e i più grandi crolli di

borsa. Usando le onde di Elliot, ossia

degli indici che studiano l’andamento

dei prezzi di un titolo, regolati secondo

questo matematico da un principio

naturale, ed i numeri di Fibonacci, il

docente universitario G. Migliorino ha

previsto con incredibile precisione il

punto minimo del drammatico ribasso

dell’estate ‘98.

Applicazioni della Successione di Fibonacci:

INFORMATICA

I numeri di Fibonacci sono

utilizzati inoltre nel sistema

informatico di molti computer.

In particolare vi è un complesso

meccanismo basato su tali

numeri, detto Fibonacci heap

che viene utilizzato nel

processore Pentium della Intel

per la risoluzione di algoritmi,

ossia dei procedimenti che

consentono di ottenere un

risultato atteso eseguendo, in un

determinato ordine, un insieme

di passi semplici corrispondenti

ad azioni scelte solitamente da

un insieme finito.

Rappresentazioni Artistiche della successione

La successione di Fibonacci è

considerata talmente importante

per la matematica e in generale per

la scienza da essere diventata

oggetto di opere d’arte. In Italia,

precismente a Torino,all’angolo tra

Via Montebello e Via Po, fino a

poco tempo fa alzando lo sguardo

verso la grande cupola della Mole

Antonelliana, si poteva ammirare,

ben fissata alle sue pareti dal

progettista Mario Merz, una serie

di grandi caratteri illuminati al

neon, reppresentanti la Successione

di Fibonacci.

La Sezione Aurea

Φ

« Il rapporto Aureo è una dimostrazione

meravigliosa del fatto che l’uomo

creatore e la natura si servono degli

stessi strumenti nel creare le forme per

arrivare alla bellezza.»

Proporzione estrema e media

AB : AC = AC : CB

La prima chiara definizione di questo rapporto fu formulata

tre secoli prima di Cristo, da uno dei padri della geometria:

Euclide, matematico greco vissuto ad Alessandria. In una sua

opera, (Stoichia), un trattato di tredici volumi sulla

Elementi

geometria e sulla teoria dei numeri, è presente per la prima

volta il rapporto aureo, chiamato con il nome proporzione

all’interno del libro VI; egli si sofferma su

estrema e media,

un particolare rapporto di lunghezze, ottenuto dividendo una

linea secondo la suddetta proporzione. Egli afferma:

«Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la

proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla

parte maggiore così come la maggiore sta alla minore.»

Rettangolo Aureo

Il rettangolo aureo è quella particolare figura in cui il lato maggiore

e il minore stanno tra loro in un rapporto pari a Φ. Se si prova a

sottrarre dal rettangolo di partenza un area pari al quadrato

generato dal lato minore, si otterrà un nuovo rettangolo ancora una

volta in proporzione aurea; togliendo ancora un quadrato dal

rettangolo «figlio» con lo stesso procedimento, si otterrà

nuovamente un rettangolo rimpicciolito del fattore Φ. Proseguendo,

si otterranno dunque una serie di rettangoli sempre più piccoli, ma

tutti simili.

Un modo per costruire questo tipo di rettangolo è quello di

accostare in successione di quadrati che abbiamo per lati i valori

della successione di Fibonacci. In questo modo si creerà una

successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è

bene precisare che sarà sempre una approssimazione che non

diventerà mai esatta: perché il rapporto aureo è un numero

irrazionale, il che fa dei lati del rettangolo in esame due

grandezze per le quali, cioè, non esiste un

incommensurabili,

sottomultiplo comune.

Spirale logaritmica

La spirale logaritmica è caratterizzata dal

fatto che le distanze fra i bracci della spirale

aumentano secondo una progressione

geometrica; utilizzando i numeri di

Fibonacci, si può ottenere dunque un

particolare tipo di spirale logaritmica.

Riconsiderando il rettangolo aureo e la sua

suddivisione in figure minori e simili, è

possibile ottenere la creazione di questa

spirale: essa è generata da archi di

circonferenza che hanno come raggi i lati dei

quadrati costruiti sui lati minori. La spirale si

sviluppa intorno a un punto detto «occhio di

Dio», ossia il punto d’incontro tra le due

diagonali che si intersecano in ciascuna

coppia di rettangoli.

Manifestazioni della spirale in natura

La successione di Fibonacci ha un ruolo fondamentale

nella ossia la disposizione delle foglie nel

fillotassi,

gambo di fiori e piante.

Nel regno vegetale, le foglie sui rami e i rami sul tronco

tendono a disporsi in modo tale da avere una massima

esposizione al sole: per questo motivo la loro successione

segue un andamento rotatorio e spiraliforme. Keplero,

luminare della scienza del XVI e XVII secolo, fu il primo

a scoprire intuitivamente il rapporto tra fillotassi e

numeri di Fibonacci; nei suoi scritti egli afferma: «E’ in

modo paragonabile a questa serie che si sviluppa da sé

[allusione alla natura ricorsiva della successione di

Fibonacci] che, a mio avviso, funziona la naturale facoltà

di accrescimento.» In effetti analizzando le spirali

formate dalle foglie nei rami di alcuni organismi vegetali,

prima di completare un giro seguendo l’andamento

rotatorio si contano un numero di elementi appartenente

alla serie di Fibonacci.

Uno dei più evidenti esempi di fillotassi

basata sui numeri di Fibonacci è l’ananas.

Ognuna delle squame che rivestono questo

frutto appartiene a tre spirali diverse,

evidenziate in figura: una che sale da

sinistra verso destra ripidamente (verde),una

con angolazione minore sempre nella stessa

direzione (blu) e un’ultima da destra verso

sinistra (rossa). Le quantità di queste spirali

presenti coincidono con i numeri della

successione di Fibonacci.

Allo stesso modo, anche le squame delle

pigne e i semi del girasole sono disposte con

andamenti spiraliformi secondo la serie di

Fibonacci, in modo da essere

uniformemente sparsi su tutta la corolla e

non troppo ammassati al centro.

Un particolare molluschio chiamato Nautilus ha una conchiglia che assume la

forma della spirale logaritmica. Il nautilus è classificato come «fossile vivente».

Questa definizione indica particolari tipi di organismi, animali o vegetali, con

caratteristiche morfologiche primitive e soggetti ad un processo evolutivo molto

lento: infatti si pensava che questo fossile si fosse estinto al termine del periodo

del Paleozolico, ma dal 1828 è stato osservato nuovamente in vita.

Questo animale nella sua conchiglia aumenta di grandezza e si costruisce camere

sempre più spaziose, sigillando le precedenti ormai inutilizzabili perché troppo

piccole. Così, mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in

proporzione,creando la particolare forma a spirale logaritmica e facendo in modo

di non mutare la forma del guscio.

Manifestazioni della spirale nell’Universo

La magia dei numeri di Fibonacci e del loro rapporto aureo non si limita a

“infiltrarsi” nella natura della Terra, ma va ben oltre il nostro mondo. La

spirale logaritmica, costruita secondo questa successione di numeri, è

riscontrabile nell’ Universo e dona la forma a certi tipi di galassie.

La è un sistema legato gravitazionalmente costituito da stelle, gas

galassia

interstellare e polveri cosmiche; esse generalmente si dividono in tre tipi

principali: ellittiche (indicate con la lettera E nello schemadi Hubble),

spirali (S) e irregolari (non presenti nello schema).

Sono proprio le galassie a spirale a essere

caratterizzate dalla forma a spirale

logaritmica. Queste hanno la forma di un

disco, con un nucleo globulare (bulge) e

alcuni bracci a spirale che si avvolgono

attorno ad esso. Il tutto e' in rotazione

attorno all'asse con una velocita' angolare

che varia dal centro alla periferia.

Le galassie a spirali sono piuttosto

numerose, hanno masse comprese tra 1 e

100 miliardi di volte quella del Sole e

diametri tra i 70.000 e i 100.000 anni luce

in media.

Il contenuto di queste galassie e' piuttosto

disomogeneo: la densita' della materia

aumenta dalla periferia verso il centro.

Di questo tipo di galassia fanno parte anche

le spirali barrate, che si indicano con la

notazione seguita dalle lettere o

SB a, b c.

Esse sono identiche alle precedenti, salvo

per il fatto che le braccia partono dalle

estremita' di una barra di stelle e gas che

attraversa diametralmente il bulge, anziche'

direttamente da questo. Le SB

rappresetnano circa il 30 % del totale delle

spirali. La nostra Galassia e' una spirale di tipo

nella classificazione di Hubble e

SBb

prende il nome di «Via Lattea».

Come galassia, la Via Lattea è una