I numeri di fibonacci e la sezione aurea

Esame di Stato 2007/2008

Liceo Scientifico Aldo Moro,

Rivarolo Cse

Pastore Erica

«La successione di Fibonacci e la sezione aurea.»

Φ

La successione di Fibonacci

Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci, matematico italiano, dopo avere assimilato durante numerosi viaggi le conoscenze matematiche del mondo arabo, pubblicò intorno al 1202 la sua opera fondamentale, il Liber abaci, con cui si propose di diffondere nel mondo scientifico occidentale le regole di calcolo note agli Arabi, ovvero il sistema decimale ad oggi in uso in Europa.

Quante coppie di conigli discendono in un anno da una coppia?

«Un tale mise una coppia di conigli in un luogo completamente circondato da un muro, per scoprire quante coppie di conigli discendessero da questa in un anno: per natura le coppie di conigli generano ogni mese un'altra coppia e cominciano a procreare a partire dal secondo mese dalla nascita.»

Liber Abaci

Risoluzione del problema

Fibonacci risolse questo problema con una successione che prevedeva che le coppie generate ogni mese fossero la somma di quelle generate nei due mesi precedenti:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377

Cos'è una successione?

In matematica, una successione è un elenco ordinato di un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali è possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un termine per ogni intero A n-mo n.

A differenza di quanto avviene per gli insiemi, per una successione è rilevante l'ordine in cui gli oggetti si trovano, e uno stesso oggetto può comparire più volte.

Formalmente, una successione viene definita come una funzione che associa a un numero naturale n un numero reale a n.

Rappresentando la successione sul piano cartesiano, non si ottiene una curva ma un insieme discreto di punti.

La successione di Fibonacci

In particolare, la successione di Fibonacci è una successione di numeri interi definiti dalla coppia 1,1 in cui l'elemento successivo è dato dalla somma dei due a = a + a con n > 1 precedenti.

n n-1 n-2

Successioni di questo tipo, in cui ogni termine è definito come una certa funzione dei termini precedenti, sono chiamate successioni ricorrenti o ricorsive.

F = 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393...

Proprietà della successione

I numeri di Fibonacci godono di una stupefacente gamma di proprietà di grande interesse:

• Qualsiasi numero della successione e quello che lo precede sono primi tra loro, ossia non hanno fattori primi comuni.
• Dividendo qualunque numero per il secondo che lo precede nella sequenza, si ottiene sempre 2 come risultato e come resto il numero immediatamente precedente il divisore.

a / a = 2 con il resto di a

n n-2 n-3

• La somma di tutti i numeri di Fibonacci fino ad un punto scelto, più 1, è uguale al numero di Fibonacci situato due posti avanti.

a + a + a + 1 = a ovvero 1 + 1 + 2 + 1= 5

1 2 3 5

• La somma dei quadrati dei numeri della successione, fino ad un punto qualsiasi, è uguale all’ultimo numero considerato moltiplicato per il successivo.

Proprietà fondamentale

Certamente la proprietà principale e più utile nelle scienze è quella per cui il rapporto F n / F n-1, al tendere di n all’infinito, tende al numero algebrico irrazionale chiamato numero di Fidia e definito con la lettera greca Φ.

Applicazioni della successione di Fibonacci:

Matematica

In matematica, si noti come la successione di Fibonacci sia strettamente legata al triangolo di Pascal.

Questo triangolo è un metodo, o meglio una costruzione, per ottenere i coefficienti binomiali, ossia i coefficienti dello sviluppo del binomio elevato ad una qualsiasi potenza (a+b) n.

Considerando le diagonali ascendenti, ovvero quelle linee ottenute spostandosi ogni volta di una riga sotto e due numeri a sinistra, la somma dei numeri su queste righe è un numero di Fibonacci.

Applicazioni della successione di Fibonacci:

Economia

Un’applicazione moderna nell’economia dei numeri di Fibonacci si può riscontrare presso la borsa azionistica di Milano. Prendendo spunto da questa successione, uno dei più grandi protagonisti della storia della matematica, Ralph Elson Elliot, elaborò una precisa teoria di previsione dei mercati finanziari con la quale in tempi recenti sono stati anticipati i più grandi rialzi e i più grandi crolli di borsa.

Usando le onde di Elliot, ossia degli indici che studiano l’andamento dei prezzi di un titolo, regolati secondo questo matematico da un principio naturale, ed i numeri di Fibonacci, il docente universitario G. Migliorino ha previsto con incredibile precisione il punto minimo del drammatico ribasso dell’estate ‘98.

Applicazioni della successione di Fibonacci:

Informatica

I numeri di Fibonacci sono utilizzati inoltre nel sistema informatico di molti computer.

In particolare vi è un complesso meccanismo basato su tali numeri, detto Fibonacci heap che viene utilizzato nel processore Pentium della Intel per la risoluzione di algoritmi, ossia dei procedimenti che consentono di ottenere un risultato atteso eseguendo, in un determinato ordine, un insieme di passi semplici corrispondenti ad azioni scelte solitamente da un insieme finito.

Rappresentazioni artistiche della successione

La successione di Fibonacci è considerata talmente importante per la matematica e in generale per la scienza da essere diventata oggetto di opere d’arte.

In Italia, precisamente a Torino, all’angolo tra Via Montebello e Via Po, fino a poco tempo fa alzando lo sguardo verso la grande cupola della Mole Antonelliana, si poteva ammirare, ben fissata alle sue pareti dal progettista Mario Merz, una serie di grandi caratteri illuminati al neon, rappresentanti la successione di Fibonacci.

La sezione aurea

Φ

«Il rapporto aureo è una dimostrazione meravigliosa del fatto che l’uomo creatore e la natura si servono degli stessi strumenti nel creare le forme per arrivare alla bellezza.»

Proporzione estrema e media

AB : AC = AC : CB

La prima chiara definizione di questo rapporto fu formulata tre secoli prima di Cristo, da uno dei padri della geometria: Euclide, matematico greco vissuto ad Alessandria.

In una sua opera, (Stoichia), un trattato di tredici volumi sulla geometria e sulla teoria dei numeri, è presente per la prima volta il rapporto aureo, chiamato con il nome proporzione estrema e media, all’interno del libro VI; egli si sofferma su un particolare rapporto di lunghezze, ottenuto dividendo una linea secondo la suddetta proporzione.

Egli afferma:

«Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l’intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore.»

Rettangolo aureo