Numeri: il mistero dei...

Il mistero dei numeri: quanto “contano” oggi?

Tiziana Pilia

Classe VA

Liceo Scientifico G. Bruno, Muravera

Esame di Stato

Anno scolastico 2007/2008

Indice

• Premessa
• Un po’ di storia…
• Il sistema dei numeri
• I numeri perfetti
• I numeri amichevoli
• Il numero d’oro
• Arte e sezione aurea
• I frattali: natura, geografia, fisiologia e musica
• “Uno, nessuno e centomila”
• I numeri e la guerra
• Numerologia
• Coincidenze?
• Bibliografia

“I grandi amano le cifre. Quando voi gli parlate di un nuovo amico, non si domandano mai: "Qual è il tono della sua voce? Quali sono i suoi giochi preferiti? Fa collezione di farfalle?" Ma vi domandano: "Che età ha? Quanti fratelli? Quanto pesa? Quanto guadagna suo padre?" Allora soltanto credono di conoscerlo.”

Antoine de Saint-Exupéry

“Il piccolo principe”

Premessa

• Il “piccolo principe” è stato il primo libro che ho letto nella mia vita. Ricordo che avevo solo sette anni, e mi aveva colpito la sua grande semplicità.
• Un po’ di tempo fa me lo sono ritrovato fra le mani, e sfogliandolo ho letto proprio questa pagina.
• È così che è nato il desiderio di capire, di riflettere sul mondo di oggi e sui suoi valori, sull’importanza dei numeri e sui misteri che essi nascondono.
• È stato un viaggio davvero sorprendente.
• Dicono che i numeri sono ciò che di più stabile ed oggettivo ci possa essere, rappresentano delle certezze, eppure dopo questo percorso sono arrivata alla conclusione che in realtà, dentro di essi, c’è un universo segreto, fatto di codici nascosti e tante sorprese!

Un po’ di storia…

• La parola “numero” deriva dal latino “numerus”, che traduce il concetto di numero vero e proprio, quello di forma e addirittura di ritmo.
• I numeri furono introdotti più o meno consapevolmente sin dall’antichità, ma la prima numerazione scritta risale al 3500 a.C. presso i Sumeri, in Mesopotamia.
• La numerazione attuale, con nove cifre e lo zero, è nata in India intorno al V secolo, ma il sistema decimale non era sconosciuto agli egiziani, ai babilonesi e persino ai maya.

Arrivo in Europa

• La prima esposizione sistematica si deve al matematico indiano Brahmagupta nel VII secolo d.C.
• Furono poi gli arabi, con il matematico Muhammad ibn Al-Khwarizimi (780/850), durante la loro dominazione, ad usarli (come concetto ma non come scrittura).
• E molto più tardi, fu Leonardo Fibonacci (1170/1230) a diffonderli in Europa con il suo “Liber abaci”.

Termine improprio

• Essendo notoriamente utilizzati dagli arabi, impropriamente si chiamano “numeri arabi”. In realtà la scrittura vera e propria era quella indiana.
• Nel 810, l’arabo Muhammad ibn Al-Khwarizimi scrisse un libro coniando un termine che in italiano divenne algebra.
• Oggi tutto il mondo si serve di queste cifre.
• Ed è grazie alla combinazione dei 10 numeri indù che il progresso tecnologico ha potuto crescere fino all’invenzione del computer.
• Essi si servono di un sistema binario (1 e 0).
• In realtà esiste un’infinità di sistemi: ternario, quaternario, esadecimale ad esempio.

Successioni numeriche

• L’idea di successione nacque dalle dita delle mani. Un dito viene prima dell’altro, l’associazione dito-unità è quasi scontata. Così sono nati i concetti di ordinale e cardinale, inseparabili fra loro.

Come si contava?

• In passato i “conti” si potevano fare in tantissime maniere.
• In Persia re Dario utilizzò la tecnica di legare, attraverso dei nodi, delle cordicelle su una corda.
• In Mesopotamia si usava mettere, uno alla volta, dei ciottoli (calculi) all’interno di vasi.
• I romani, invece, si servivano dell’abaco.

Il sistema dei numeri

Numeri reali

Non interi — Interi

Irrazionali — Razionali — Pari

Dispari — Primi

Algebrici — Primi — Non primi

Trascendenti — Non primi

Immaginari — Complessi

Reali — Immaginari

+ x

√-1 — Reali

I numeri perfetti

• Un numero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori.
• Il più piccolo numero perfetto è il 6. Esso, infatti, è divisibile (oltre che per se stesso) per 1, 2 e 3. 1+2+3=6.
• Altri numeri di questo tipo sono: 28, 8128, 496.
• Nel medioevo gli studiosi religiosi sostenevano che la perfezione del 6 e del 28 si può ritrovare nella struttura dell’universo perché Dio creò la Terra in 6 giorni e fece girare la Luna attorno alla Terra in 28 giorni.
• Evidenziando le potenze di 2 che sono presenti in ogni numero perfetto, Eulero nel 1772 scoprì che essi sono strettamente legati ai numeri primi dalla seguente formula:
• n=2p-1(2p-1)
• Oggi conosciamo 39 numeri perfetti.

Numeri amichevoli

• "Due numeri si dicono amicabili quando la somma dei divisori propri di uno è uguale all'altro e viceversa".
• Per esempio il 220 e il 284 formano una coppia di numeri amicabili perché il 220 è divisibile per 1, 2, 3, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110: la loro somma è 284; mentre il numero 284 ha come divisori il 1, 2, 4, 71, 142 e la somma è proprio 220.
• Nella Bibbia ritroviamo il 220 nel numero di pecore che Giacobbe donò a Esaù come segno di amicizia e affetto.
• La seconda coppia più piccola venne scoperta nel 1867, da un ragazzino di soli sedici anni, Niccolò Paganini (omonimo del violinista). La coppia era sempre sfuggita a tutti i matematici, il ragazzo ci era arrivato per tentativi!
• Oggi di numeri amicabili se ne conoscono centinaia, ma la ricerca di altri continua.

Il numero d’oro

• Dietro l’idea di armonia e perfezione, nella natura come nel mondo dell’arte, si cela un numero trascendente, inesprimibile in forma decimale se non approssimato: Φ=1,61803398874989...
• La prima definizione del numero φ risale a Euclide.
• Egli si soffermò su un particolare rapporto di lunghezze, ottenibili dividendo una linea secondo la sua “proporzione estrema e media”, cioè in due parti tali che la linea intera sta alla parte maggiore, come quest’ultima sta alla parte minore. La “proporzione estrema e media” equivale a φ.

Dal numero d’oro a “phi”

• “Numero aureo”, “sezione aurea” è stato designato nell’800, alludendo all’oro, simbolo di nobiltà, inalterabilità e preziosità.
• Altro termine con cui è stato definito è “proporzione divina”, comparso in un importante trattato scritto e pubblicato in Italia all’inizio del Cinquecento.