Numeri: il mistero dei...

“I grandi amano le cifre.

Quando voi gli parlate

di un nuovo amico,

non si domandano

mai: "Qual è il tono

della sua voce?

Quali sono i suoi

giochi preferiti? Fa

collezione di farfalle?"

Ma vi domandano: "Che

eta' ha? Quanti

fratelli? Quanto pesa?

Quanto guadagna suo

padre?" Allora

soltanto credono di

conoscerlo.”

Antoine de Saint-

Exupéry

“Il piccolo principe”

Premessa

• Il “piccolo principe” è stato il primo libro che ho letto nella

mia vita. Ricordo che avevo solo sette anni, e mi aveva

colpito la sua grande semplicità.

• Un po’ di tempo fa me lo sono ritrovato fra le mani, e

sfogliandolo ho letto proprio questa pagina.

• È così che è nato il desiderio di capire, di riflettere sul

mondo di oggi e sui suoi valori, sull’importanza dei

numeri e sui misteri che essi nascondono.

• È stato un viaggio davvero sorprendente.

• Dicono che i numeri sono ciò che di più stabile ed

oggettivo ci possa essere, rappresentano delle certezze,

eppure dopo questo percorso sono arrivata alla

conclusione che in realtà, dentro di essi, c’è un universo

segreto, fatto di codici nascosti e tante sorprese!!

Un po’ di storia…

• La parola “numero” deriva dal

latino “ numerus”, che traduce

il concetto di numero vero e

proprio, quello di forma e

addirittura di ritmo.

• I numeri furono introdotti più o

meno consapevolmente sin

dall’antichità, ma la prima

numerazione scritta risale al

3500 a.C. presso i Sumeri, in

Mesopotamia.

• La numerazione attuale,con

nove cifre e lo zero, è nata in

India intorno al V secolo, ma il

sistema decimale non era

sconosciuto agli egiziani, ai

babilonesi e persino ai maya.

Arrivo in Europa..

• La prima esposizione

sistematica si deve al

matematico indiano

Brahmagputa nel VII secolo

d.C.

• Furono poi gli arabi, con il

matematico Muhammad ibn Al-

Khwarizimi (780/850), durante

la loro dominazione, ad usarli

(come concetto ma non come

scrittura).

• E molto più tardi,fu Leonardo

Fibonacci(1170/1230) a

diffonderli in Europa con il suo

“Liber abaci”.

Termine improprio..

• Essendo notoriamente utilizzati

dagli arabi, impropriamente si

chiamano “numeri arabi”. In realtà

la scrittura vera e propria era quella

indiana.

• Nel 810, l’arabo Muhammad ibn Al-

Khwarizimi scrisse un libro

coniando un termine che in italiano

divenne algebra.

• Oggi tutto il mondo si serve di

queste cifre.

• Ed è grazie alla combinazione dei

10 numeri indù che il progresso

tecnologico ha potuto crescere fino

all’invenzione del computer.

• Essi si servono di un sistema

binario (1 e 0).

• In realtà esistono un infinità di

sistemi: ternario, quaternario,

esadecimale ad esempio.

Successioni numeriche

• L’idea di successione

nacque dalle dita

delle mani. Un dito

viene prima dell’altro,

l’associazione dito-

unità, è quasi

scontata. Così sono

nati i concetti di

ordinale e cardinale,

inseparabili fra loro.

Come si contava?

• In passato i “conti” si

potevano fare in

tantissime maniere.

• In Persia re Dario, utilizzò

la tecnica di legare,

attraverso dei nodi, delle

cordicelle su una corda.

• In Mesopotamia, si usava

mettere, uno alla volta,

dei ciottoli (calculi)

all’interno di vasi.

• I romani, invece, si

servivano dell’abaco.

Il sistema dei numeri

Numeri reali

Non interi Interi

Irrazionali Razionali Pari

Dispari Primi

Algebrici Primi Non primi

Trascendenti Non primi

Immaginari Complessi

Reali Immaginari

+

x

√-1 Reali

I numeri perfetti

• Un numero si dice perfetto se è uguale

alla somma dei suoi divisori.

• Il più piccolo numero perfetto è il 6.

Esso, infatti, è divisibile (oltre che per

se stesso) per 1, 2 e 3. 1+2+3=6.

• Altri numeri di questo tipo sono:28,

8128,496.

• Nel medioevo gli studiosi religiosi

sostenevano che la perfezione del 6 e

del 28 si può ritrovare nella struttura

dell'universo perchè Dio creò la Terra

in 6 giorni e fece girare la Luna attorno

alla Terra in 28 giorni.

• Evidenziando le potenze di 2 che sono

presenti in ogni numero perfetto,

Eulero nel 1772 scopri che essi sono

strettamente legati ai numeri primi

dalla seguente formula :

• n=2p-1(2p-1)

• Oggi conosciamo 39 numeri perfetti.

Numeri amicabili

• "Due numeri si dicono amicabili quando

la somma dei divisori propri di uno è

uguale all'altro e viceversa" .

• Per esempio il 220 e il 284 formano una

coppia di numeri amicabili perchè il 220

è divisibile per 1, 2, 3, 5, 10, 11, 20, 22,

44, 55 e 110: la loro somma è 284;

mentre il numero 284 ha come divisori il

1, 2, 4, 71,142 e la somma è proprio

220.

• nella Bibbia ritroviamo il 220 nel numero

di pecore che Giacobbe donò a Esaù

come segno di amicizia e affetto.

• La seconda coppia più piccola venne

scoperta nel 1867, da un ragazzino di

soli sedici anni Niccolò Paganini

(omonimo del violinista). La coppia era

sempre sfuggita a tutti i matematici, il

ragazzo ci era arrivato per tentativi!!

• Oggi di numeri amicabili se ne

conoscono centinaia, ma la ricerca di

altri, continua. IL NUMERO D’ORO

• Dietro l’idea di armonia e di perfezione,

nella natura come nel mondo dell’arte, si

cela un numero trascendente,

inesprimibile in forma decimale se non

approssimato: Φ=1,61803398874989...

• la prima definizione del numero φ risale

a Euclide.

• Egli si soffermò su un particolare

rapporto di lunghezze, ottenibili

dividendo una linea secondo la sua

“proporzione estrema e media”, cioè in

due parti tali che la linea intera sta alla

parte maggiore, come quest’ultima sta

alla parte minore. La “proporzione

estrema e media” equivale a φ .

Dal numero d’oro a “phi”

• “numero aureo”, “sezione aurea” è

stato designato nell‘800, alludendo

all’oro, simbolo di nobiltà,

inalterabilità e preziosità.

• Altro termine con cui è stato

definito è “proporzione divina”,

comparso in un importante trattato

scritto e pubblicato in Italia all’inizio

del Cinquecento;

• Il nome “φ” venne introdotto solo

all’inizio del XX secolo, dall’iniziale

del grande scultore Fidia (490-430

a.C.), poiché si ritiene che lo ebbe

sempre presente nel realizzare le

sue sculture e nella costruzione del

Partenone.

Il numero d’oro in natura

• La proporzione divina, si può

trovare in ogni campo: dalla

geometria, alla musica, alla stessa

natura.

• La piramide egizia di Cheope ha

una base di 230 metri ed una

altezza di 145: il rapporto

base/altezza corrisponde a 1,58

molto vicino a 1,6.

• Nei megaliti di Stonehenge, le

superfici teoriche dei due cerchi di

pietre azzurre e di Sarsen, stanno

tra loro nel rapporto di 1,6.

Ancora phi..

• Anche nella progettazione

della Cattedrale di Notre Dame

a Parigi e del Palazzo

dell'ONU a New York sono

state utilizzate le proporzioni

del rettangolo aureo.

• Negli oggetti quotidiani,

possiamo trovare alcuni

esempi di sezione aurea:dalle

schede telefoniche alle carte di

credito e bancomat, dalle carte

SIM dei cellulari alle

musicassette: sono tutti

rettangoli aurei con un

rapporto tra base ed altezza

pari a 1,618.

Il numero d’oro nel corpo

• Phi è presente pure sul nostro corpo.

• Se moltiplichiamo per 1,618 la

distanza che in una persona adulta e

proporzionata, va dai piedi

all'ombelico, otteniamo la sua statura.

• Così la distanza dal gomito alla mano

(con le dita tese), moltiplicata per

1,618, dà la lunghezza totale del

braccio.

• La distanza che va dal ginocchio

all'anca, moltiplicata per il numero

d'oro, dà la lunghezza della gamba,

dall'anca al malleolo.

• Anche nella mano i rapporti tra le

falangi delle dita medio e anulare sono

aurei, così il volto umano è tutto

scomponibile in una griglia i cui

rettangoli hanno i lati in rapporto

aureo. Non finisce qui..

• la mirabile disposizione dei petali di

una rosa, l’armoniosa spirale di alcune

conchiglie, queste e molte altre realtà

così disparate sono accomunate dal

numero aureo.

• Ammirando un girasole, ad esempio, è

facile notare al centro

dell’infiorescenza l’insieme di spirali

orarie e antiorarie che si intersecano

con regolarità. Fenomeni che si

rifanno alla successione di Fibonacci.

Phi e il nautilo

• Questo particolare tipo

di mollusco cresce

all’interno della propria conchiglia,

costruendosi camere sempre più

spaziose e abbandonando e

sigillando quelle inutilizzabili perché

troppo piccole.

• Mentre la conchiglia si allunga, il

raggio aumenta in proporzione,

cosicché crescendo, non cambia

forma: ma questa è proprio la

proprietà fondamentale della spirale

logaritmica. Che ha un rapporto molto

stretto con phi. Phi e le galassie

• Anche la forma delle

galassie riprende quella

della spirale logaritmica.

• Il numero phi è presente

pure nei meravigliosi

brani musicali di Mozart e

Beethoven sotto forma di

sequenze di Fibonacci

nel numero di note e

battute.

La sezione aurea nell’arte

• La sezione aurea riconosciuta

come un rapporto

esteticamente piacevole è

stata usata come base per la

composizione di quadri o di

elementi architettonici.

• Gli artisti e i matematici del

Rinascimento tra cui Leonardo

da Vinci e Sandro Botticelli

rimasero affascinati e la

chiamarono divina

proporzione, la chiave mistica

dell’armonia nelle arti e nelle

scienze. Fidia e il Partenone

• La gloria di Fidia è affidata al

Partenone, il tempio di Atena.

• L'edificio ancora conserva,

nonostante le distruzioni e le

spoliazioni, tutto il fascino che gli

viene da una struttura equilibrata e

proporzionata, in un miracoloso

accordo di misure geometriche

esatte e di un'ispirazione libera da

regole fisse, viva, naturale.

• Il Partenone il più celebre

monumento dell'architettura

Ellenica contiene molti rettangoli

aurei e le stesse proporzioni auree

si riscontrano nelle statue in esso

presenti.

• Esempio significativo sono le

Korai dell'Eritteo.

Leonardo da Vinci

• In particolare Leonardo incorporò

il rapporto aureo in tre dei suoi

capolavori: La Gioconda,

L’ultima cena e L'Uomo di

Vitruvio.

• Nella Gioconda il rapporto

aureo è stato individuato:

 nella disposizione del quadro

 nelle dimensioni del viso

 nell’area che va dal collo a

sopra le mani

 in quella che va dalla scollatura

dell’abito fino a sotto le mani.

• Ne L’Ultima cena, Gesù, il solo

personaggio veramente divino,

è dipinto con le proporzioni

divine, ed è racchiuso in un

rettangolo aureo.

“L’uomo vitruviano”

• Ne L’Uomo, Leonardo studia le

proporzioni della sezione aurea

secondo i dettami del De architectura

di Vitruvio che obbediscono ai rapporti

del numero aureo. Leonardo stabilì

che le proporzioni umane sono

perfette quando l’ombelico divide

l’uomo in modo aureo.

• Vitruvio nel De Architectura scrive:

• "Il centro del corpo umano è inoltre per

natura l’ombelico; infatti, se si sdraia

un uomo sul dorso, mani e piedi

allargati, e si punta un compasso sul

suo ombelico, si toccherà

tangenzialmente, descrivendo un

cerchio, l’estremità delle dita delle sue

mani e dei suoi piedi".

La sezione aurea e Mondrian

• Anche i dipinti del pittore

ottocentesco Pierre

Mondrian,autore di

numerosi quadri astratti in

cui domina l'uso di figure

geometriche, utilizzò la

sezione aurea.

• In questo quadro è ben

visibile l'impostazione

artistica di Mondrian che

basa l'intero dipinto

sull'accostamento di

quadrati e rettangoli

aurei.

Il calcio e il numero d’oro

• I campi da calcio si

avvicinano molto ad

un rettangolo aureo,

in particolare quelli di

Piacenza e Venezia,

le cui dimensioni

105m e 65m danno

come rapporto 1,615

molto vicino a 1,618.

I numeri e la geometria della natura

• Cosa hanno in

comune :

• la distribuzione delle

galassie?

• la struttura dei

polmoni?

• le statistiche di certi

fenomeni naturali?

• ..... la geometria viene spesso definita fredda e

arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di

descrivere la forma di una nuvola, di una

montagna, di una linea costiera, di un albero.

Osservando la natura vediamo che le montagne

non sono dei coni, le nuvole non sono delle

sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli

oggetti geometricamente molto complessi...

• Benoit Mandelbrot "Gli oggetti frattali"

I frattali

• I frattali sono figure geometriche

caratterizzate dal ripetersi sino

all'infinito di uno stesso motivo

su scala sempre più ridotta.

Questa è la definizione più

intuitiva che si possa dare di

figure che in natura si

presentano con una frequenza