NUMERI TRANSFINITI
Oggi parleremo dei numeri transfiniti, dove l'aritmetica dei numeri transfiniti è diversa da quella dei finiti. Se abbiamo un insieme
[math]A=\{a,b,c,d\}[/math]
, possiamo formare una serie di sottoinsiemi:
[math]\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{b,c\},\{b,d\},\{c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\}[/math]
che sono ciò che abbiamo chiamato sottoinsiemi di
[math]A[/math]
. Ricevono questo nome per il fatto che si formano con elementi dello stesso, se si considera che anche l'insieme totale [math]\{a,b,c,d\}[/math]
e l'insieme vuoto sono sottoinsiemi di [math]A[/math]
. L'insieme vuoto, che ha come simbolo [math]∅[/math]
, è un insieme che è privo di elementi e si considera che sia sottoinsieme di qualsiasi insieme. Questi due insiemi, l'originale, con tutti i suoi elementi, ed il vuoto, si considerano sottoinsiemi impropri. Dunque, quando aggiungiamo alla collezione precedente questi due insiemi, abbiamo la collezione completa di tutti i sottoinsiemi di [math]A[/math]
:
[math]∅,\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,d\},\{b,c\},\{b,d\},\{c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d\},\{a,b,c,d\}[/math]
che formano un totale di
[math]16[/math]
sottoinsiemi.Abbiamo, dunque, che
[math]2^{4}=16[/math]
, in modo che il numero dei sottoinsiemi di [math]A[/math]
è [math]2[/math]
elevato al numero di elementi di [math]A[/math]
. Si dimostra facilmente che questo è sempre così, in modo che possiamo affermare che dato un insieme qualsiasi che abbia un numero [math]n[/math]
di elementi, il suo numero di sottoinsiemi è sempre [math]2^{n}[/math]
.L'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di un insieme
[math]A[/math]
si chiama insieme delle parti di [math]A[/math]
e si usa il simbolo [math]℘(A)[/math]
. Cantor dimostrò che, in generale, dato un insieme qualsiasi, l'insieme delle sue parti era maggiore di questo, ossia conteneva più elementi, cosa che, espressa in modo corretto, equivale ad affermare che il suo cardinale è maggiore. Per non fare un abuso di parentesi utilizziamo un simbolo alternativo per rifarci ad un cardinale: usiamo le barrette verticali in modo che, d'ora in poi, [math]Card(A)=|A|[/math]
. Ossia, il risultato precedente lo possiamo esprimere nel seguente modo:
[math]|A|
Cantor dimostrò diversi teoremi, ma quando si parla del "teorema di Cantor" normalmente si fa riferimento a questo.
Una forma alternativa di esprimerlo sarebbe:
[math]|A|
Questo teorema rende possibile "ordinare" gli infiniti. Cantor considera che l'infinito "più piccolo" è quello che corrisponde al cardinale
[math]\mathbb{N}[/math]
, nell'insieme dei numeri naturali, che chiamò [math]ϗ_{0}[/math]
, in modo che, secondo la nomenclatura impiegata in precedenza si ha che:
[math]|N|=ϗ_{0}[/math]
Applicando il Teorema di Cantor si ottiene:
[math]|ϗ_{0}|
Questi costituiscono i cosiddetti numeri transfiniti.
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