Note sulla teoria dei residui quadratici

Z X XY Y

diofantea .

Quindi senza formalizzarsi troppo sul nome da dare alle soluzioni della (11.1), anticipiamo che

uno dei risultati principale di questo paragrafo consisterà proprio nel verificare che ogni soluzione

può essere generata da una terna pitagorica tramite l'applicazione di una opportuna



(i )

trasformazione di coordinate, e che questo risultato risulta immediato da verificare in

utilizzando la fattorizzazione unica.

Teorema 11.2

La (11.1) è risolubile se e solo se c è scrivibile come somma di due quadrati.

Dimostrazione 2 2

= +

La condizione è sufficiente in quanto se esistono due interi u e v tali che c u v allora la

( )

terna u ,v , 1 è soluzione della 11.1. Verifichiamo che tale condizione è necessaria, se c non è

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c

rappresentabile come somma di due quadrati, allora per il Teorema 9.10 ammette fattori primi

del tipo 3 (mod 4 ) con esponente dispari, quindi se per la (11.1) ammettesse una soluzione

( ) 2

x , y , z non banale, ma dato che tutti gli esponenti dei fattori primi di z sono pari ne

2

risulterebbe che cz è rappresentabile come somma di due quadrati e possiete fattori primi

del tipo 3 (mod 4) con esponente dispari da cui l’assurdo. □

Osservazione 11.3

Un sotto insieme particolare della soluzioni primitive è definito dalla condizione più restrittiva:

= =

d MCD x y (11.4)

( , ) 1

3 2

Per il Teorema 9.8 se la (11.1) ammette soluzioni che soddisfano la (11.4) allora cz , e quindi c ,

ha come divisori primi 2 o primi del tipo 1 (mod 4 ) . ( )

In generale per un intero positivo c assegnato una generica soluzione primitiva x , y , z della

(11.1) può essere ricondotta ad risoluzione della (11.1) che rispetta la (11.4) definita dal

parametro:

2

′ =

c c /d (11.5)

3

( )

′ ′ ′ ′ ′ =

sia x , y , z con MCD ( x , y ) 1 è una soluzione della

2 2 2

′

+ =

X Y c Z (11.6)

( ) ( )

′ ′ ′ ′

allora posto d x , d y , z / MCD (

d , z ) è una soluzione della (11.1). Viceversa se x , y , z è una

3 3 3 ( ) =

MCD x d y d inoltre

soluzione primitiva della (11.1) allora x / d , y / d , z allora ( / , / ) 1

3 3 3 3

= =

( , ) ( , , ) 1

MCD d z MCD x y z . Quindi abbiamo dimostrato la seguente proposizione:

3

Proposizione 11.4

L’insieme delle soluzione primitive della (11.1) è costituito dall’unione dell’insieme delle soluzioni

che soddisfano la (11.4) e degli insiemi analoghi ottenuti per ciascun divisore quadratico d di c ,

3

sostituendo nella (11.1) il parametro c con il parametro definito dalla (11.5) e con la clausola

=

aggiuntiva ( , ) 1

MCD d z .

3

Dimostrazione

Vedi Osservazione 11.3. □

Corollario 11.5

Se c non possiede divisori quadratici, la (11.1) se risolubile ammette solo soluzioni che

soddisfano la (11.4).

Dimostrazione

Immediata conseguenza della Proposizione 11.4 o direttamente della (11.5). □

Essendoci ridotti sempre al caso di soluzioni della (11.1) per cui vale la (11.4), le formule risolutive

generali della (11.1) sono definite dal seguente teorema.

Teorema 11.6 ( )

La generica soluzione primitiva x , y , z della (11.1) è definita dalle seguenti equazioni:

( ) { }

2 2 g 2 2

= +

= ∈

> > e

d | c e u v 0 con MCD (

u , v ) 1 tali che c / d 2 u v g 0

,

1

3 3

2 2 2

= +

r s t terna pitagorica primitiva definita dalle formule (11.3) con la condizione aggiuntiva

=

MCD r d .

( , ) 1

3

{

( ) ( ) }

( ) ∈ = − =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z j x j y j z j y j x j z j k

, , , , , , , | 1

,

1

; 1

,

2

,

3

k

1 2 3 1 2 3

( )

= −

ˆ

 x d tu sv

/ 3

=

Se g 0 (11.7)

 ( )

= +

ˆ

y d su tv

/

 3 ( ) ( )

= + − −

ˆ

 x d s t u s t v

/ 3

=

Se g 1 (11.8)

 ( ) ( )

= − + +

ˆ

y d s t u s t v

/

 3

=

ˆ

z r (11.9)

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Dimostrazione =

d di cui tutti gli altri casi saranno immediata

Svolgiamo nel dettaglio la dimostrazione per 1

3 ( )

2 =

conseguenza ripedendo tutti i ragionamenti per d , se esistono

c /d . Sia quindi 1 x , y , z tali

3

3

2 2 2 2

= = +

che MCD ( x , y ) 1 e , cioè cz ammette una rappresentazione primitiva, allora per il

cz x y ≥

Corollario 10.28 z deve essere dispari altrimenti 2 avrebbe un esponente . Fattorizzando in

g 2

 2

(i ) il numero cz abbiamo che:

( )( )( ) ( )

2 2

2 = + − + −

cz u iv u iv m in m in

dove: 2 2 =

= = + >

z r m n con MCD (

m , n ) 1 e m n .

( )

g 2 2 = >

= +

c u v con MCD (

u , v ) 1 e u v .

2

e applicando il Corollario 10.28 risulta quindi:

( ) ( )( ) ( )

g 2

r r

+ = − + + = + = =

ˆ ˆ =

con

x iy i i u iv m in i x i

y e g 0 se c è dispari, g 1 se c è pari.

1 r 0

,

1

,

2

,

3

Posto quindi:

2 2

= −

s m n

=

t 2

mn

svolgendo i calcoli si trovano le formule dell’asserto del teorema. □

Osservazione 11.7

Analizziamo i risultati del precendente teorema in analogia al caso delle terne pitagoriche per cui

=

si ha c 1 . Risulta evidente che ogni rappresentazione di c come somma di due quadrati, sia

essa primitiva o non, genera un ramo (o famiglia o insieme) di soluzioni della (11.1). Possiamo

trascurare, considerandole equivalenti, le rappresentazione di c che differiscono solo per segno o

per ordine delle componenti, dato che danno luogo a soluzioni che differiscono tra loro, a parità di

=

terna pitagorica, solo per segno e ordine delle componenti. Pertanto, il caso c 1 da luogo ad un

2 2

= +

solo ramo di soluzioni, corrispondenti alla unica rappresentazione c 1 0 e lo stesso vale per

2 2

= = +

il caso c 2 1 1 . Quindi nel senso appena precisato la (11.1) presenta tanti rami di soluzioni

c

quante sono le rappresentazioni di come somma di due quadrati, il cui numero è un ottavo del

>

numero definito formula (10.5) quando c 2 .

Una interpretazione geometrica degli argomenti svolti in questo paragrafo, si ottiene tenendo

presente il fatto che indirettamente abbiamo risolto i seguente problema:

( )

Assegnata una terna pitagorica primitiva s , t , r ed un numero intero positivo c che non è

ϕ

un quadrato perfetto, determinare le rotazioni del raggio vettore affinché le sue

r c

proiezioni sugli assi siano segmenti di lunghezza intera.

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12. L’equazione Diofantea in 

2 2 l

+ =

X Y Z ( )

>

Per l 1 intero assegnato ci occupiamo di determinare tutte le terne di interi x , y , z soluzioni

primitive della equazione diofantea:

l

2 2

+ = (12.1)

X Y Z l

2 2

+ =

In questo caso particolare se :

x y z

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

MCD ( x , y , z ) 1 MCD ( x , y ) 1 MCD ( x , z ) 1 MCD (

y , z ) 1 (12.2)

( )

Quindi se x , y , z è una soluzione allora x e y danno luogo ad una rappresentazione primitiva di

l

di z come somma di due quadrati. +

Per il Corollario 10.28 l’intero Gaussiano x iy associato ad una scomposizione primitiva in

l ′ ′

− +

somma di due quadrati di z è dato dalla l esima potenza dell’intero Gaussiano a i

b associato

z

ad una generica scomposizione primitiva di in somma di sue quadrati, inoltre risulta essendo

> =

l 1 che deve essere g 0 cioè z è dispari. Quindi:

( )

l

′ ′

+ = +

x iy a i

b ′ ′ ′ ′

= =

posto : e

a a b b a b

max( , ) min( , )

abbiamo che:

( )

l

r

+ = + =

x iy i a ib con r 0

,

1

,

2

,

3

= > >

MCD (

a , b ) 1 e a b 0 .

Posto ( )

l

+ = +

ˆ ˆ

x i

y a ib (12.3)

abbiamo dimostrato il seguente teorema:

Teorema 12.1 ( )

>

Per l 1 intero assegnato la generica soluzione primitiva x , y , z della (12.1) e definita dalle

seguenti formule:

{

( ) ( ) }

( ) ∈ = − =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z j x j y z j y j x z j k

, , , , , , , | 1

,

1

; 1

,

2 se l dispari.

k

1 2 1 2

{

( ) ( ) }

( ) ∈ = − =

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z j x j y j z j y j x j z j k

, , , , , , , | 1

,

1

; 1

,

2

,

3 se l pari.

k

1 2 3 1 2 3

( ) ( ) ( )

l l

+ + −

a ib a ib ( )

l

= = +

ˆ

x Re a ib (12.4)

2

( ) ( ) ( )

l l

+ − −

a ib a ib ( )

l

= = +

ˆ

y Im a ib (12.5)

2

i

2 2 =

= + > >

ˆ

z a b , MCD (

a , b ) 1 , a e b con parità differente, e a b 0 . (12.6)

Dimostrazione

Svolta nei ragionamenti che precedono il teorema. □

Osservazione 12.2

Abbiamo di nuovo una generalizzazione delle formule (11.3) che definiscono le terne pitagoriche

= +

primitive. Inoltre nel caso di l 2

n 1 , cioè numero dispari, esiste una simmetria tra la formula

( ) ( ) ( )

3

3 + = − −

− = +

(12.4) la formula (12.5). Infatti osserviamo che e quindi che a ib i b ia ,

a ib i b ia

sostituendo nella (12.5) si ha che:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− −

l l l l l l l

3 3 1 1

l l

3 3

− − − + + + − − + + − −

1 1 1

i b ia i b ia b ia b ia b ia b ia

( ) ( ) −

− l 1

l

3 1

= = = −

ˆ

y i i

2 2 2

i

e analoghi passaggi per x̂ si possono fare per la (12.4), quindi nel caso di l dispari abbiamo che:

( ) ( ) ( )

l l

+ − −

b ia b ia

( ) ( ) ( )

+ +

1 1

l l l

= − = − +

ˆ

x 1 1 Im b ia (12.7)

2 2

2

i

( ) ( ) ( )

l l

+ + −

b ia b ia ( )

− −

1 1

l l l

= − = − +

ˆ

y ( 1