Teoria dei giochi tesina

LA TEORIA DEI GIOCHI

Simone Bellesia

INDICE

Introduzione…………………………………………………………………………………………………

……………… 3

Teoria dei

giochi…………………………………………………………………………………………………………

… 4

Introduzione…………………………………………………………………………………………………

…… 4

Definizioni……………………………………………………………………………………………………

……. 4

Cenni

storici……………………………………………………………………………………………………….

5 Il

teorema minimax di John von Neumann…………………………………………………………….

7

Applicazioni del teorema

minimax……………………………………………………………………….. 7 John Nash: una

mente bellissima………………………………………………………………………… 12

L’equilibrio di

Nash…………………………………………………………………………………………….. 13

Applicazioni dell’equilibrio di

Nash……………………………………………………………………….. 17

La soluzione di

Nash………………………………………………………………………………………….. 17

Il problema di

Nash……………………………………………………………………………………………. 17

Storia e teoria dei

giochi……………………………………………………………………………………………….. 18

La RAND

Corporation…………………………………………………………………………………………. 19

La corsa agli

armamenti……………………………………………………………………………………… 20 2

LA TEORIA DEI GIOCHI

Simone Bellesia

Adam Smith e John

Nash………………………………………………………………………………………………. 22

Adam

Smith……………………………………………………………………………………………………….

22

Adam Smith e John Nash a

confronto………………………………………………………………….. 25

Bibliografia e

sitografia………………………………………………………………………………………………….

27 INTRODUZIONE

È sempre stato faticoso trovare l’argomento su cui basare la propria “tesina”. Questa

difficoltà nasce, nella maggior parte dei casi, dalla complessità di fare collegamenti

(non banali e non forzati) tra le varie materie scolastiche.

Per quanto mi riguarda, ho avuto l’illuminazione durante uno “Stage estivo per gli

studenti delle Scuole Superiori” presso l’Università degli Studi di Parma, a cui ho

partecipato l’anno scorso. Durante questo breve stage della durata di tre giorni, è

stato proposto un seminario chiamato “Intelligenza Artificiale e giochi da tavolo”,

tenuto in modo brillante dal professor Federico Bergenti, che mi ha avvicinato alla

teoria dei giochi e a come la matematica possa essere utilizzata nella vita di tutti i

giorni. Successivamente, la visione del film “A Beautiful Mind”, diretto da Ron Howard,

e vari approfondimenti mi hanno portato a fare della teoria dei giochi, una “scienza

matematica” poco conosciuta ma molto affascinante, l’argomento di questa

trattazione. Essendo una branca della matematica molto complessa, cercherò di

trattare la questione in modo accessibile a tutti.

I collegamenti, poi, sono stati immediati: la teoria dei giochi, infatti, come poi

spiegherò, si adatta molto a spiegare varie situazioni della storia, soprattutto la Guerra

Fredda (argomento di storia). La figura di John Nash, il matematico che ha fornito i

maggiori contributi alla teoria dei giochi, inoltre, mi ha portato a trattare in filosofia di

Adam Smith, l’economista scozzese le cui teorie vengono perfezionate e superate da

quelle di Nash. 3

LA TEORIA DEI GIOCHI

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Consapevole del fatto che non sia possibile mettere in relazione tutte le materie, mi

limiterò a questi due collegamenti, per evitare di forzarne alcuni, con l’impegno di

trattarli nel modo più esauriente possibile.

TEORIA DEI GIOCHI

INTRODUZIONE

Nel ventesimo secolo si sviluppa una disciplina matematica fortemente innovativa, che

ha lo scopo di analizzare situazioni di conflitto tramite lo studio delle interazioni

strategiche tra più individui: la teoria dei giochi. Essa è il tentativo di costruire una

teoria sistematica del comportamento umano razionale guardando ai giochi come

semplici sistemi per l’esercizio della razionalità umana. Per gioco si intende l’insieme

costituito da tutti i giocatori, dalle loro strategie e dai possibili guadagni nell’applicare

una di queste in relazione alle scelte degli altri. Essendo coinvolti diversi soggetti,

l’esito finale di un gioco dipende dalle singole scelte effettuate da ciascun giocatore.

Nella teoria dei giochi gli individui hanno a disposizione determinate “soluzioni” o

“strategie” (ovvero insiemi di mosse) per raggiungere il loro obiettivo. La premessa

indispensabile, inoltre, è che tutti devono essere a conoscenza delle regole ed essere

consapevoli delle conseguenze di ogni singola mossa. In dipendenza dalle strategie

adottate da tutti i giocatori (o agenti), ognuno riceve un "pay-off" (che in inglese

significa compenso, vincita, pagamento, ma anche esito) secondo un'adeguata unità

di misura, che può essere positivo, negativo o nullo. Dalla sua nascita, la teoria ha

trovato applicazioni in svariati campi: dall’economia alla politica, dalla sociologia

all’informatica, dalla biologia alla finanza. In economia, ad esempio, è ampiamente

utilizzata per descrivere le interazioni strategiche tra agenti economici; in campo

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politico-militare, è stata adottata (soprattutto negli anni della Guerra Fredda) per

studiare le possibili strategie in un conflitto armato.

DEFINIZIONI

Per comprendere meglio il resto della trattazione e per evitare incomprensioni, è

indispensabile riportare alcune definizioni sui vari tipi di giochi. Nel panorama della

teoria dei giochi, infatti, vengono presi in considerazione giochi che appartengono a

varie categorie. Alla base di tutto, però, vi è il principio di razionalità, cioè che il

soggetto coinvolto si comporti in modo tale da scegliere la strategia utile per

massimizzare il proprio guadagno: in presenza di giocatori irrazionali, infatti, non

sarebbe possibile giungere a soluzioni inquadrabili in un modello matematico.

Una prima categoria è quella dei giochi a somma zero, in cui quello che è

guadagnato da un contendente è necessariamente perso dall’altro: nel gioco del

calcio, ad esempio, una squadra vince e l’altra perde, altrimenti si giunge al pareggio.

Nei giochi a somma variabile, invece, è prevista anche la possibilità di un guadagno

(o di una perdita) per entrambi i giocatori. Una distinzione importante va fatta tra

giochi cooperativi e non cooperativi. Un gioco è cooperativo quando i contendenti

possono accordarsi preventivamente circa la strategia da adottare, in modo tale da

ottenere entrambi il massimo guadagno: esempi si possono trovare nei campi che

prevedono l’interazione umana, come l’economia o la pianificazione strategica. Nel

caso di giochi non cooperativi, i partecipanti devono scegliere autonomamente la

propria strategia di gioco, come avviene giornalmente in borsa. Esistono inoltre giochi

ripetuti e non ripetuti (se il gioco è appunto ripetuto, sempre con gli stessi valori,

più volte nel tempo o meno), giochi finiti e infiniti (a seconda che il tempo di

svolgimento sia determinato o meno). Se i giocatori decidono le proprie mosse in

contemporanea, come avviene nelle aste, si parla di giochi simultanei; se invece,

come nella dama o nei giochi di carte, le mosse di un giocatore seguono quelle

dell’altro, si parla di giochi sequenziali. Infine un gioco può essere a informazione

perfetta se in ogni momento si conosce con certezza la storia delle giocate

precedenti (come negli scacchi, nella dama o nel go); se, al contrario, le giocate

dell’avversario sono tenute segrete (come a briscola o a scopa), abbiamo giochi a

informazione imperfetta.

CENNI STORICI

Storicamente, il primo lavoro logico-matematico sui giochi si deve a Ernst Zermelo,

che nel 1912 inaugura l’approccio assiomatico ai giochi con l’elenco dei tre possibili

esiti di una partita a scacchi: vittoria, sconfitta o pareggio. In seguito Èmile Borel, nel

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LA TEORIA DEI GIOCHI

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1921, si propone di determinare in quali casi esista una strategia ottimale e come fare

ad ottenerla. Il passo successivo si ha con il “Teorema Minimax” di John von

Neumann, che stabilisce che nei giochi a somma zero e a informazione perfetta esiste

una strategia che permette ad entrambi i giocatori di minimizzare le loro perdite. Il

teorema viene ripreso, nel 1944, nell’opera “Theory of Games and Economic Behavior”

dallo stesso John von Neumann e da Oskar Morgenstern: si tratta della prima opera

che presenta una trattazione organica e completa dei giochi. I due studiosi tentano di

descrivere matematicamente il comportamento umano nei casi in cui l’interazione tra

uomini comporti la vincita o lo spartirsi di qualche tipo di risorsa, introducendo

importanti elementi usati in campo economico. Il più famoso studioso che si occupa

successivamente della teoria dei giochi è John Nash, che riesce a formalizzare, nel

1949, il concetto di equilibrio, dimostrando che in tutti i giochi non cooperativi a due o

più giocatori, esiste una situazione che non può essere migliorata con iniziative

individuali. L’applicazione di questo concetto in campo economico vale a Nash il

“Premio Nobel per l’Economia” nel 1994. In seguito Kenneth Arrow e Gérard

Debreu, nel 1954, riescono a dimostrare l’esistenza di una condizione in grado di

condurre all’equilibrio economico, e per questo vincono il “Premio Nobel per

l’Economia” nel 1972 e nel 1983. Ernst

Èmile

Zermelo

Borel

John von Neumann

Oskar Morgenstern John Nash 6

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Simone Bellesia Kenneth Arrow Gérard Debreu

IL TEOREMA MINIMAX DI JOHN VON NEUMANN

Illustreremo ora in maniera abbastanza sintetica il teorema sopracitato, mentre ci

soffermeremo molto più approfonditamente sulle applicazioni di quest’ultimo nella

tecnologia moderna.

Il risultato noto come “teorema minimax” fu pubblicato da John von Neumann nel

1928 sulla rivista “Mathematische Annalen”, in un articolo chiamato “Zur Theorie der

Gesellschaftspiele” (ovvero “Sulla teoria dei giochi di società”). Esso è applicabile a

giochi finiti, a somma zero, a informazione perfetta e a due giocatori, sia nel caso di

mosse alternative che simultanee.

In breve, il minimax, nella teoria delle decisioni, afferma che esiste una strategia che

permette ad entrambi i giocatori di minimizzare (min) la massima

(max) perdita possibile; in alternativa, per massimizzare (max) il minimo guadagno

(min).

Più specificatamente, la tecnica di von Neumann si può riassumere così:

- per ogni mossa possibile definiamo valore minimax il pay-off massimo

ottenibile contro un giocatore ottimo (per giocatore ottimo si intende un agente

dotato di razionalità, che comprensibilmente avrà una strategia ottima, volta a

massimizzare il proprio pay-off);

- l’agente sceglie come prossima mossa quella che ha valore minimax massimo

(e questa prende il nome di decisione minimax).

APPLICAZIONI DEL TEOREMA MINIMAX

Il “teorema minimax” di John von Neumann è uno dei principi fondamentali

dell’Intelligenza Artificiale. Di norma questo termine (che viene comunemente

contratto nell'acronimo ‘IA') viene utilizzato per designare una disciplina scientifica

(talvolta considerata una branca della più generale scienza dei calcolatori) il cui

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