Massimi, minimi e teoremi delle funzioni derivabili

Massimi, minimi relativi e assoluti

Data y=f(x), x0∊D è punto di massimo assoluto se ∀x∊D f(x)≤f(x0);
Data y=f(x), x0∊D è punto di minimo assoluto se ∀x∊D f(x)≥f(x0);
Data y=f(x), x0∊D è punto di massimo relativo se ∃I(x0)|f(x)≤f(x0) ∀x∊I(x0);
Data y=f(x), x0∊D è punto di minimo relativo se ∃I(x0)|f(x)≥f(x0) ∀x∊I(x0).
L’espressione punti di estremante indica contemporaneamente minimi e massimi.
Tali punti oltre che nelle discontinuità di I e III specie, nei punti angolosi, nelle cuspidi e nei punti stazionari; sono da ricercare agli estremi del dominio.
NB: I punti di estremante devono sempre appartenere al dominio.
Teoremi delle funzioni derivabili:
Teorema di Rolle: Se f(x) è definita e continua in [a,b], derivabile in ]a,b[ e f(a)=f(b), allora in ]a,b[ vi è almeno un punto stazionario.
Teorema di Lagrange: Se f(x) è definita e continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[, allora in ]a,b[ vi è un punto c∣f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Nell’intervallo ]a,b[ vi è perciò un punto la cui retta tangente ha lo stesso coefficiente angolare della retta passante per a e b.
Conseguenze teorema di Lagrange:
• Se f(x) è definita e continua in [a,b], derivabile in ]a,b[ e f’(x)>0⇒ ∀x∊]a,b[ f(x) è crescente;
• Se f(x) è definita e continua in [a,b], derivabile in ]a,b[ e f’(x) Sono condizioni sufficienti perciò una funzione potrebbe essere crescente o decrescente anche se non valgono le suddette condizioni.