Si risolva la disequazione che segue
[math]ln^2x-\sqrt{5lnx}>0[/math]
La disequazione la scriviamo in questo modo:
[math]ln^2x>\sqrt{5lnx}[/math]
Ora eseguiamo la quadratura
[math]ln^4x>5lnx[/math]
Ovviamente dobbiamo però porre delle debite condizioni, che sono
1)Stretta positività dell'argomento del logaritmo
2)Positività del radicando
Tutto ciò si riassume nel sistema seguente, che dobbiamo risolvere
[math]\begin{cases} x>0 \\ lnx>=0 \\ ln^4x-5lnx>0 \ \end{cases}[/math]
che diviene
[math]\begin{cases} x>0 \\ x>=1 \\ lnx(ln^3x-5)>0 \ \end{cases}[/math]
Risolviamo
[math]lnx(ln^3x-5)>0[/math]
. Posto [math]lnx=t[/math]
si deve risolvere [math]t(t^3-5)>0[/math]
Questa disequazione è molto semplice, e restituisce
[math]t U >div class="mathjax-container">[math]t>root(3)5[/math]
cioè
[math]lnx >div class="mathjax-container">[math][/math]
[math]0>x> U >div class="mathjax-container">[math]lnx>root(3)5[/math]
[math][/math]>/div> >div class="mathjax-container">[math]x>e^{root(3)5}[/math]
Per cui
[math]lnx(ln^3x-5)>0[/math]
[math][/math]>/div> >div class="mathjax-container">[math]0>x> U >div class="mathjax-container">[math]x>e^{root(3)5}[/math]
In conclusione il la disequazione
[math]ln^2x-\sqrt{5lnx}>0[/math]
equivale a
[math]\begin{cases} x>0 \\ x>=1 \\ 0>x u x>e^{root(3)5} \ \end{cases}[/math]
che risolta dà
[math]x>e^{root(3)5}[/math]
FINE
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