Si risolva la seguente disequazione
[math]ln^2x-root(5)(lnx)>0[/math]
Osserviamo subito che in questa disequazione c'è una radice scomoda, ma che può essere tolta eseguendo un'elevazione a potenza opportuna, in questo caso di esponente
[math]5[/math]
. Portando [math]root(5)(lnx)[/math]
al secondo membro, ed elevando il tutto alla quinta, si ha
[math]ln^10x>lnx[/math]
ovvero
[math]ln^10x-lnx>0[/math]
Risolvere questa disequazione equivale a risolvere il seguente sistema
[math]\begin{cases} x>0 \\ ln^10x-lnx>0 \ \end{cases}[/math]
Infatti la disequazione
[math]x>0[/math]
si rende necessaria perchè non possiamo accettare soluzioni che rendano negativo l'argomento del logaritmo. Si ha
[math]\begin{cases} x>0 \\ lnx(ln^9x-1)>0 \ \end{cases}[/math]
Risolviamo
[math]lnx(ln^9x-1)>0[/math]
. Posto [math]lnx=t[/math]
si deve risolvere [math]t(t^9-1)>0[/math]
La parentesi
[math]t^9-1[/math]
può essere trattata come differenza tra due cubi, infatti
[math]t^9=(t^3)^3[/math]
e [math]1=1^3[/math]
Perciò
[math]t(t^9-1)=t(t^3-1)(t^6+t^3+1)>0[/math]
che a sua volta, eseguento un'altra scomposizione, diviene
[math]t(t-1)(t^2+t+1)(t^6+t^3+1)>0[/math]
Le ultime due parentesi sono falsi quadrati, che sono sempre positivi, pertanto possono essere trascurati perchè non influiscono sul segno.
Il tutto si riduce a
[math]t(t-1)>0[/math]
che molto facilmente restituisce
[math]t U >div class="mathjax-container">[math]t>1[/math]
cioè
[math]lnx >div class="mathjax-container">[math][/math]
[math]0>x> U >div class="mathjax-container">[math]lnx>1[/math]
[math][/math]>/div> >div class="mathjax-container">[math]x>e[/math]
Per cui
[math]lnx(ln^9x-1)>0[/math]
[math][/math]>/div> >div class="mathjax-container">[math]0>x> U >div class="mathjax-container">[math]x>e[/math]
Per cui la disequazione originaria
[math]ln^2x-root(5)(lnx)>0[/math]
equivale al sistema
[math]\begin{cases} x>0 \\ 0>x ext x>e \ \end{cases}[/math]
ovvero
[math]0>x> U >div class="mathjax-container">[math]x>e[/math]
FINE
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