Calcolare
[math]lim_{x o 0} {3^{x^2} - 2^{x^2}}/ {xsenx}[/math]
Per prima cosa occorre ricordare che, per valori di
[math]x[/math]
prossimi allo zero, si ha l'approssimazione [math]x\approx \\sinx[/math]
Questo è molto utile, perchè possiamo scrivere il nostro limite nella maniera seguente (dato che [math]x o 0[/math]
) [math]lim_{x o 0} {3^{x^2} - 2^{x^2}}/ {xsenx}=lim_{x o 0} {3^{x^2} - 2^{x^2}}/ {x \cdot x}[/math]
Perciò si ha [math]lim_{x o 0}(3^{x^2}-2^{x^2})/{x^2}[/math]
. Ponendo [math]x^2=t[/math]
il tutto diventa [math]lim_{x o 0}(3^t-1)/t+(1-2^t)/t[/math]
(abbiamo aggiunto e sottratto [math]1[/math]
al numeratore) che è la somma di limiti notevoli. Infatti sappiamo che [math]lim_(x o 0) (a^x-1)/x=lna[/math]
Perciò risulterà che [math]lim_(x o 0) (3^t-1)/t=ln3[/math]
[math]lim_(x o 0) (1-2^t)/t=lim_(x o 0) -(2^t-1)/t=-ln2[/math]
Perciò si ha che [math]lim_{x o 0}(3^t-1)/t+(1-2^t)/t=ln3-ln2[/math]
che può anche essere espresso in maniera più compatta nella forma [math]ln(3/2)[/math]
(in virtù di una nota proprietà dei logaritmi). FINE
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
