Esercizi sui limiti: lim_{x to 0} frac{sqrt{4 x^4

di _Steven

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Si calcoli

[math]\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x^4 - 6x^6} -2x^2}{\\log^2{\\cos(x)}}[/math]

SOLUZIONE 1

Senza usare il teorema di De L'Hopital o Taylor, usiamo esclusivamente i limiti notevoli.

In questo caso abbiamo quindi

[math]\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 x^4 - 6x^6} -2x^2}{\\log^2{\\cos(x)}} = \lim_{x \to 0} \frac{-6 x^2}{\sqrt{4 - 6x^2} + 2} (-\frac{x}{\\sin^2(x)} (\\cos(x) + 1))^2 (\frac{\\cos(x) - 1}{\\log(1 + (\\cos(x) - 1))})^2 =[/math]

[math]= \lim_{x \to 0} \frac{-6}{\sqrt{4 - 6x^2} + 2} {\frac{x}{\\sin(x)}}^4 (\\cos(x) + 1)^2 (\frac{\\cos(x) - 1}{\\log(1 + (\\cos(x) - 1))})^2 = \frac{-6}{4} \cdot (1)^4 \cdot (1+1)^2 \cdot (1)^2 = -6[/math]

SOLUZIONE 2

Oppure, un secondo procedimento valido è il seguente

[math]lim_(x->0)(\sqrt{4x^4-6x^6}-2x^2)/(\\log(\\cosx))^2[/math]

, una volta considerato che il dominio della funzione è

[math]x in [-\sqrt{3/2}, +\sqrt{3/2}][/math]

, portiamo fuori dalla radice

[math]4x^4[/math]

, (è la stessa cosa solo

[math]x^4[/math]

come ti hanno già suggerito) e razionalizziamo il numeratore, ottenendo (senza riscrivere limite):

[math](2x^2 \cdot [\sqrt{1-3/2x^2}-1] \cdot [\sqrt{1-3/2x^2}+1])/(\\log^2(\\cos x) \cdot [\sqrt{1-3/2x^2}+1])=(-3x^4)/(\\log^2(\\cos x) \cdot [\sqrt{1-3/2x^2}+1])[/math]

il limite della parentesi quadra al denominatore è 2, quindi il limite da calcolare lo possiamo scrivere anche come:

[math]-3/2 \cdot lim_(x->0)[(x^2)/(\\log(\\cosx))]^2[/math]

Svolgendo con L'Hopital

[math]lim_(x->0)(x^2)/(\\log(\\cosx))=lim_(x->0)(2x)/((-senx)/(\\cosx))=lim_(x->0)(-(2x \\cosx)/(senx))=-2[/math]

, tenendo conto del limite notevole

[math]x/(senx)[/math]

dunque il limite cercato è

[math]-3/2 \cdot (-2)^2=-6[/math]

FINE

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