di _Steven

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Calcolare

[math]lim_(x->0)(1/x-1/(e^x-1))[/math]

Il limite presenta una forma indeterminata, infatti

[math]lim_(x->0)(1/x-1/(e^x-1))=infty -infty[/math]

Sommiamo la due frazioni per ottenerne una sola, quindi trovando il minimo comun denominatore otteniamo

[math]lim_(x->0)(e^x-1-x)/(x(e^x-1))=0/0[/math]

che è una nuova forma indeterminata ma più facile da trattare.

Infatti i casi di indeterminazione del tipo

[math]0/0[/math]

sono affrontabili applicando il Teorema di De L'Hopital.

Procedendo in questo senso, deriviamo numeratore e denominatore

[math]lim_(x->0)(e^x-1-x)/(x(e^x-1))=lim_(x->0)(e^x-1)/(e^x-1+e^x x)[/math]

A questo punto possiamo cavarcela con i limiti notevoli.

Proviamo a mettere in evidenza

[math]x[/math]

al numeratore e al denominatore

[math]lim_(x->0)(x((e^x-1)/x))/(x \cdot [((e^x-1)/x)+e^x][/math]

Semplificando la

[math]x[/math]

, e ricordando il limite notevole

[math]lim_(x o0)\frac{e^x-1}{x}=1[/math]

, otteniamo agevolmente

[math]lim_(x->0)((e^x-1)/x)/(((e^x-1)/x)+e^x)=1/(1+1)=1/2[/math]

FINE

Esercizi sui limiti: lim_(x->0)(1/x-1/(e^x-1))

{etRating 3} Calcolare lim_(x->0)(1/x-1/(e^x-1)) Il limite presenta una forma indeterminata, infatti lim_(x->0)(1/x-1/(e^x-1))=infty -infty Sommiamo la due frazioni per ottenerne una...