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Calcolare
[math]lim_(x->0)(1/x-1/(e^x-1))[/math]
Il limite presenta una forma indeterminata, infatti
[math]lim_(x->0)(1/x-1/(e^x-1))=infty -infty[/math]
Sommiamo la due frazioni per ottenerne una sola, quindi trovando il minimo comun denominatore otteniamo
[math]lim_(x->0)(e^x-1-x)/(x(e^x-1))=0/0[/math]
che è una nuova forma indeterminata ma più facile da trattare. Infatti i casi di indeterminazione del tipo [math]0/0[/math]
sono affrontabili applicando il Teorema di De L'Hopital. Procedendo in questo senso, deriviamo numeratore e denominatore
[math]lim_(x->0)(e^x-1-x)/(x(e^x-1))=lim_(x->0)(e^x-1)/(e^x-1+e^x x)[/math]
A questo punto possiamo cavarcela con i limiti notevoli. Proviamo a mettere in evidenza [math]x[/math]
al numeratore e al denominatore
[math]lim_(x->0)(x((e^x-1)/x))/(x \cdot [((e^x-1)/x)+e^x][/math]
Semplificando la [math]x[/math]
, e ricordando il limite notevole
[math]lim_(x o0)\frac{e^x-1}{x}=1[/math]
, otteniamo agevolmente
[math]lim_(x->0)((e^x-1)/x)/(((e^x-1)/x)+e^x)=1/(1+1)=1/2[/math]
FINE
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