Disequazioni esponenziali

- se

Esempio: la disequazione

Caso

[math]a^x \le b[/math]

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

- se

- se

- se

Esempio: la disequazione

Caso

[math]a^x

Per la risoluzione di una disequazione in questa forma si distinguono i seguenti casi:

- se

[math]b \le 0[/math]

non esiste

[math]x \in \mathbb{R}[/math]

per cui la disequazione sa verificata

- se

[math]b > 0[/math]

e

[math]0 la disequazione è verificata per >div class="mathjax-container">[math]x > \\log_{a}(b)[/math]

- se

[math]b > 0[/math]

e

[math]a > 1[/math]

la disequazione è verificata per

[math]x

Esempio: la disequazione

[math]6^x è verificata per

[math]x

Riconduzione a disequazioni esponenziali in forma normale

Nei seguenti esempi vengono illustrati alcuni casi particolari di disequazioni esponenziali che possono essere riportati, mediante alcuni passaggi algebrici, alla forma elementare.

1) Risolvere

[math](\frac{1}{2})^{x+9} > 4[/math]

. Posto

[math]t = x+9[/math]

ci si riconduce ad una disequazione esponenziale in forma elementare, del tipo

[math](\frac{1}{2})^t > 4[/math]

. Pertanto la soluzione è

[math]t

2) Risolvere

[math](\frac{1}{3})^{2x} \ge 3[/math]

. Ponendo

[math]t = 2x[/math]

ci si riconduce ad una disequazione in forma elementare del tipo

[math](\frac{1}{3})^t \ge 3[/math]

, la cui soluzione è

[math]t \le \\log_{\frac{1}{3}}(3) \implies t \le 1 \implies 2x \le 1 \implies x \le \frac{1}{2}[/math]

3) Risolvere

[math]3^{2x} - 5 \cdot 3^x + 6 \ge 0[/math]

. Posto

[math]t = 3^x[/math]

, e osservando che

[math]t^2 = 3^{2x}[/math]

, la disequazione precedente diventa

[math]t^2 - 5t + 6 \ge 0[/math]

la cui soluzione è

[math]t \le 2 \quad \vee \quad t \ge 3[/math]

. Ricordando la sostituzione

[math]t = 3^x[/math]

, si deduce che la soluzione della disequazione esponenziale è

[math]3^x \le 2 \quad \vee \quad 3^x \ge 3[/math]

, ossia

[math]x \le \\log_{3}(2) \quad \vee \quad x \ge 1[/math]