Concetto di insieme ed insiemi numerici

Appunto di matematica sugli insiemi numerici, sulle loro proprietà e sulle varie operazioni fra insiemi.

Concetto di insieme

Il concetto di insieme indica il raggruppamento di un dato numero di elementi (finito o infinito) tutti accomunati da una data caratteristica che definisce quell’insieme.
Tale concetto è noto a tutti dall’esperienza e rientra nella categoria di concetto intuitivo.
Ciascuno degli enti che entrano a far parte di un insieme viene detto elemento dell’insieme stesso.
Ogni insieme viene indicato convenzionalmente con una lettera maiuscola dell’alfabeto, mentre ogni suo elemento con una lettera minuscola: diremo che un dato ente è un elemento di un dato insieme se appartiene (simbolo ∈) a questo insieme; mentre diremo che un dato ente non è un elemento di un dato insieme se non appartiene (simbolo ∉) a tale insieme.
La matematica prende in esame solamente insiemi per i quali non esiste alcun dubbio circa l’identificazione degli elementi che li compongono.
Per indicare qual è l’insieme di cui intendiamo occuparci si utilizzano una della tre seguenti rappresentazioni:

• elencazione;
• proprietà caratteristica;
• diagramma di Eulero Venn.

Nel primo caso si fornisce l’elenco completo (racchiuso fra parentesi graffe) di tutti gli elementi dell’insieme.

Questo metodo viene anche detto rappresentazione per elencazione o in estensione ed ovviamente è applicabile ad un insieme il cui numero di elementi è finito.
Nel secondo caso si enuncia una proprietà caratteristica che contraddistingue tutti gli elementi dell’insieme ed essi soltanto. Questo tipo di rappresentazione viene chiamato anche sintetica o in comprensione ed è applicabile anche ad insiemi costituiti da un numero infinito di elementi.
Ad esempio l’insieme dei numeri reali maggiori o uguali di uno viene rappresentato tramite la proprietà caratteristica x \ge 1.
Il diagramma di Venn prevede la rappresentazione grafica di un insieme mediante una regione di piano limitata da una linea chiusa, non intrecciata. I punti o cerchietti che figurano all’interno ed all’esterno di quella regione rappresentano rispettivamente gli elementi appartenenti all’insieme e quelli non appartenenti, che dobbiamo considerare.

Proprietà degli insiemi

Fissato il concetto di insieme, cerchiamo di definire e descrive alcune proprietà che ci permettano di gestirli.
Diremo che un insieme è finito se l’elenco dei suoi elementi ha un termine, ossia se è costituito da un numero finito di elementi; in caso contrario diremo che tale insieme è infinito.
L’insieme che non contiene alcun elemento viene chiamato insieme vuoto e si deve fare attenzione a non confonderlo con l’insieme zero che contiene il solo elemento zero (che è diverso dal vuoto).
Chiameremo uguali due insiemi A e B se e solo se ogni elemento di A è anche elemento di B e viceversa: due insiemi uguali sono lo stesso insieme anche se rappresentato in due forme diverse.
In altri termini, due elementi, a e b, appartenenti allo stesso insieme o ad insiemi diversi, si dicono uguali se e solo se a e b rappresentano lo medesimo elemento. Ad esempio si ha a = b se

e

Sottoinsiemi

Dato un insieme A chiameremo sottoinsieme di A un insieme totalmente contenuto nell’insieme di partenza. Ad esempio, considerato l’insieme dei numeri naturali, N, l’insieme dei numeri pari, P, e dei numeri dispari, D, costituiscono due suoi sottoinsiemi.
In generale dati due insiemi A e B, si dice che A è sottoinsieme di B se ogni elemento si A è anche elemento di B. Mentre gli elementi di B possono sia appartenere che non appartenere all’insieme A.
Fra i sottoinsiemi di un dato insieme A figurano anche l’insieme A (ossia A è sottoinsieme di se stesso) e l’insieme vuoto che è sottoinsieme di tutto gli insiemi.
Per esprimere che A è sottoinsieme di B si usa la seguente simbologia:
A⊂B
oppure
A⊆B.
La prima scrittura esprime che A è sottoinsieme di B, ma non coincide con B, ossia evidenzia il fatto che esistono elementi di B non appartenenti all’insieme A. La seconda scrittura esprime che A è sottoinsieme di B e che può anche coincidere con B. Nel primo caso avremo una inclusione in senso stretto, nel secondo caso una inclusione in senso largo:
A⊂B A è sottoinsieme di B oppure A è incluso in B oppure A è contenuto in B in senso stretto
A⊆B A è sottoinsieme di B oppure A è incluso in B oppure A è contenuto in B in senso largo.

Operazioni con gli insiemi

Le operazioni eseguibili fra gli insiemi di vario tipo sono:

• unione;
• intersezione;
• differenza;
• prodotto cartesiano.

Dati gli insiemi A e B, chiameremo unione di A e B e la indicheremo con A∪B l’insieme formato dagli elementi che appartengono indifferentemente ad A ovvero a B, ossia l’insieme formato dai loro elementi comuni e da quelli non comuni. Si noti che qualunque insieme unito all’insieme vuoto fornisce l’insieme stesso.
Un esempio di unione fra insiemi può essere il seguente.
Siano dati gli insiemi
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
e
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
si ha che
A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Dati due insiemi A e B chiameremo la loro intersezione e la indicheremo con A∩B l’insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A che a B.
Facciamo un esempio utilizzando i seguenti insiemi:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
e
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
si ha che
A∩B = {4, 5, 6}.
Due insiemi che non hanno alcun elemento in comune si dicono disgiunti, in questo caso la loro intersezione sarà costituita dall’insieme vuoto.
La differenza di due insiemi A e B, indicata con A – B e presi in questo ordine è l’insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B.
Dati gli insiemi
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
e
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
Si ha che
A – B = {1, 2, 3.}
Se A⊆B, allora A – B viene anche detta insieme complementare o complemento di B rispetto ad A.
Si chiama prodotto cartesiano di due insiemi A e B e lo si indica con la scrittura AXB l’insieme formato da tutte le coppie ordinate (a,b) con a elemento di A e b elemento di B.
Si specifica che due elementi x ed y appartenenti ad insiemi distinti e presi nell’ordine scritto, formano una coppia ordinata o più brevemente una coppia che si rappresenta con la scrittura (x,y). Diremo che x ed y sono rispettivamente il primo ed il secondo elemento della coppia.
Un esempio di prodotto cartesiano fra due Insiemi A e B potrebbe essere il seguente.
Siano dati gli insiemi
A = {x, y, z}
e
B = {1, 2}
Si ha che:
AXB = {(x,1), (x,2), (y,1), (y,2), (z,1), (z,2)}.

Insiemi numerici

La matematica si occupa fondamentalmente dello studio di insiemi numerici.
I principali insiemi numerici sono i seguenti:

• insieme dei numeri naturali, N;
• insieme dei numeri relativi, Z;
• insieme dei numeri razionali, Q;
• insieme dei numeri reali, R.

L'insieme dei numeri naturali (N) è formato da tutti i numeri interi positivi in ordine crescente ed è un insieme illimitato (es: 1, 2, 3...). In questo insieme sono sempre possibili le operazioni di somma e moltiplicazione fra gli elementi dell’insieme.
L'insieme dei numeri relativi (Z) è formato da tutti i numeri interi positivi e negativi (es: 1, -1, 2, -2...) e sono sempre possibili la moltiplicazione, la somma e la sottrazione fra gli elementi dell’insieme. L’insieme Z contiene l'insieme precedente dei numeri naturali.
L'insieme dei numeri razionali (Q) è formato da tutti i numeri interi positivi e negativi e da tutti i numeri frazionali positivi e negativi (es: 1, -1, 1/2, 2/3...). In questo insieme è sempre possibile la somma, la moltiplicazione, la sottrazione e la divisione degli elementi che vi appartengono. L’insieme Q contiene i due insiemi precedenti.
L'insieme dei numeri reali (R) è formato da tutti i numeri esistenti; è un insieme non numerabile ed è definito da vari assiomi come:

• Assioma di Archimede;
• Assioma di Dedekind.

L’assioma di Archimede afferma che presi due numeri x e y appartenenti a R con x minore di y esiste un numero n appartenente all'insieme N tale che x moltiplicato a n è maggiore o uguale a y.
L’assioma di Dedekind viene usato per dimostrare la completezza dei reali e dice che una sezione di un insieme qualunque C è una coppia di insiemi e se C appartiene ad A e a B allora A unito all'insieme B dà l'insieme C mentre la loro intersezione dà l'insieme vuoto.
Per i numeri reali sono possibili tutte le operazioni tranne l’estrazione di una radice di indice pari per un numero negativo, in questo caso l’insieme numerico che permette tale operazione si chiama insieme dei numeri complessi.

per ulteriori approfondimenti sugli insiemi vedi anche qua