Grafico probabile di una funzione razionale fratta

Algebra

Appunto di analisi matematica in cui è svolto uno studio di funzione fino alla derivata prima di una funzione razionale fratta, La funzione è pari e il suo grafico e simmetrico rispetto all'asse y.

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Sintesi

Il grafico probabile di una funzione

Come già ampiamente descritto in molti appunti di analisi matematica, per le scuole secondarie di secondo grado, lo studio di una funzione va effettuato rispettando una sequenza di operazioni:

La funzione esaminata in questo appunto è la seguente:

[math]y=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}[/math]

Iniziamo con la ricerca del dominio:
Cerchiamo gli zeri del denominatore:

[math]
8-2x^2 \neq 0[/math]

[math]x^2 \neq 4[/math]

[math]x \neq \pm 2[/math]

Abbiamo allora:

[math]D=(-\infty;-2) \cup (2;+\infty)[/math]

La funzione presenta solo potenze pari, controlliamo eventuali simmetrie, verifichiamo se f(x)=f(-x)

[math]f(-x)=\frac{8(-x)^2-1}{8-2(-x)^2}=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}[/math]

La funzione è pari e questo significa che il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.
Cerchiamo le intersezioni con gli assi:
\begin{cases}x = 0\\ y=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}\end{cases}

\begin{cases}y = 0\\ y=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}\end{cases}

Dalla risoluzione dei due sistemi otteniamo i punti:

[math]A=(0;-\frac{1}{8})[/math]

[math]B= (-\frac{\sqrt{2}}{4};0)[/math]

[math]C= (\frac{\sqrt{2}}{4};0)[/math]

Lo studio del segno ci dà le seguenti informazioni:
f(x)>0

[math] \forall x \in (-2;-\frac{\sqrt{2}}{4})\cup(\frac{\sqrt{2}}{4};2)[/math]

f(x)<0

[math]\forall x \in (-\infty;-2)\cup(-\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4})\cup(2;\infty)[/math]

Il calcolo dei limiti agli estremi del dominio evidenzia la presenza di un asintoto orizzontale di equazione

[math]y=-4[/math]

e due asintoti verticali di equazione:

[math]x=-2[/math]

[math]x=2[/math]

Il calcolo della derivata prima permette di individuare gli intervalli di monotonia e la presenza di un minimo assoluto, situato proprio nel punto A.
Con tutte le informazioni si può tracciare il grafico.
In allegato tutti i passaggi algebrici e il grafico.