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Il grafico probabile di una funzione


Come già ampiamente descritto in molti appunti di analisi matematica, per le scuole secondarie di secondo grado, lo studio di una funzione va effettuato rispettando una sequenza di operazioni:
    ricerca del dominio
    verifica di eventuali simmetrie
    intersezioni con gli assi
    studio del segno
    limiti agli estremi del dominio per la ricerca degli asintoti
    studio della derivata prima
    eventuale studio della derivata seconda
    grafico finale
La funzione esaminata in questo appunto è la seguente:
[math]y=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}[/math]

Iniziamo con la ricerca del dominio:
Cerchiamo gli zeri del denominatore:
[math]
8-2x^2 \neq 0[/math]

[math]x^2 \neq 4[/math]

[math]x \neq \pm 2[/math]

Abbiamo allora:
[math]D=(-\infty;-2) \cup (2;+\infty)[/math]

La funzione presenta solo potenze pari, controlliamo eventuali simmetrie, verifichiamo se f(x)=f(-x)
[math]f(-x)=\frac{8(-x)^2-1}{8-2(-x)^2}=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}[/math]

La funzione è pari e questo significa che il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

Cerchiamo le intersezioni con gli assi:
\begin{cases}x = 0\\ y=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}\end{cases}

\begin{cases}y = 0\\ y=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}\end{cases}

Dalla risoluzione dei due sistemi otteniamo i punti:
[math]A=(0;-\frac{1}{8})[/math]

[math]B= (-\frac{\sqrt{2}}{4};0)[/math]

[math]C= (\frac{\sqrt{2}}{4};0)[/math]

Lo studio del segno ci dà le seguenti informazioni:
f(x)>0
[math] \forall x \in (-2;-\frac{\sqrt{2}}{4})\cup(\frac{\sqrt{2}}{4};2)[/math]

f(x)<0
[math]\forall x \in (-\infty;-2)\cup(-\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4})\cup(2;\infty)[/math]

Il calcolo dei limiti agli estremi del dominio evidenzia la presenza di un asintoto orizzontale di equazione
[math]y=-4[/math]
e due asintoti verticali di equazione:
[math]x=-2[/math]

[math]x=2[/math]

Il calcolo della derivata prima permette di individuare gli intervalli di monotonia e la presenza di un minimo assoluto, situato proprio nel punto A.
Con tutte le informazioni si può tracciare il grafico.
In allegato tutti i passaggi algebrici e il grafico.
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