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Funzione

y = (8x2 - 1)/(8 - 2x2)

Dominio

8 - 2x2 != 0

-2x2 != -8

2x2 != 8

x2 != 8/2

x2 != 4

x != ±2 -> D = (-infinity; -2) U (-2; 2) U (2; +infinity)

Simmetrie

f(-x) = (8(-x)2 - 1)/(8 - 2(-x)2) = (8x2 - 1)/(8 - 2x2) = f(x)

f(-x) = f(x) -> f è pari -> grafico simmetrico rispetto all'asse y.

Intersezioni

y = (8x2 - 1)/(8 - 2x2), x = 0 -> y = -1/8

A(0; -1/8)

y = (8x2 - 1)/(8 - 2x2), y = 0 -> 8x2 - 1 = 0

x2 = 1/8 -> x = ±sqrt(1/8)

y = 0 -> y = 0

B = (-sqrt(1/8); 0)

C = (+sqrt(1/8); 0)

N.B. 1/sqrt(8) = 1/(2sqrt(2)) = sqrt(2)/4

Segno

y > 0

(8x2 - 1) / (8 - 2x2) > 0

N > 0: 8x2 - 1 > 0; x < -sqrt(1/8) oppure x > sqrt(1/8)

D > 0: -2 < x < 2

y > 0 se x appartiene a (-2; -sqrt(1/8)) oppure (sqrt(1/8); 2)

y < 0 se x appartiene a (-infinito; -2) oppure (-sqrt(1/8); +sqrt(1/8)) oppure (2; +infinito)

Limiti

lim x -> +infinito f(x) =

lim x -> +infinito (8x2 - 1) / (8 - 2x2) circa (8x2) / (-2x2) = -4

y = -4 è asintoto orizzontale

lim x -> -2- f(x) =

lim x -> -2- (8x2 - 1) / (8 - 2x2) = 31 / 0- = -infinito

lim x -> -2+ f(x) = 31 / 0+ = +infinito

A.V.: x = -2

lim x -> 2- f(x) = lim x -> 2- (8x2 - 1) / (8 - 2x2) = 31 / 0+ = +infinito

lim x -> 2+ f(x) = 31 / 0- = -infinito

Derivata prima

f(x) = (8x2 - 1) / (8 - 2x2)

f'(x) = [16x(8 - 2x2) - (8x2 - 1)(-4x)] / (8 - 2x2)2

= [128x - 32x3 + 32x3 - 4x] / (8 - 2x2)2

= 124x / (8 - 2x2)2

f'(x) 0

124x / (8 - 2x2)2 0

N 0     124x 0     x 0

D 0     (8 - 2x2)2 0     x R

x = 0 è punto di minimo

f(0) = -1/8

m = A = (0; -1/8)

Codominio di f(x):

C = (-∞; -4) U [-1/8; +∞)

Grafico

x = -2     0     +2

y = -4

x = -2

x = 2

-1/8

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Sintesi

Il grafico probabile di una funzione

Come già ampiamente descritto in molti appunti di analisi matematica, per le scuole secondarie di secondo grado, lo studio di una funzione va effettuato rispettando una sequenza di operazioni:

  • Ricerca del dominio
  • Verifica di eventuali simmetrie
  • Intersezioni con gli assi
  • Studio del segno
  • Limiti agli estremi del dominio per la ricerca degli asintoti
  • Studio della derivata prima
  • Eventuale studio della derivata seconda
  • Grafico finale

La funzione esaminata in questo appunto è la seguente:

[math]y=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}[/math]

Ricerca del dominio

Iniziamo con la ricerca del dominio:

Cerchiamo gli zeri del denominatore:

[math]8-2x^2 \neq 0[/math]

[math]x^2 \neq 4[/math]

[math]x \neq \pm 2[/math]

Abbiamo allora:

[math]D=(-\infty;-2) \cup (2;+\infty)[/math]

Simmetrie

La funzione presenta solo potenze pari, controlliamo eventuali simmetrie, verifichiamo se f(x)=f(-x)

[math]f(-x)=\frac{8(-x)^2-1}{8-2(-x)^2}=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}[/math]

La funzione pari e questo significa che il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate.

Intersezioni con gli assi

Cerchiamo le intersezioni con gli assi:

[math]\begin{cases}x = 0\\ y=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}y = 0\\ y=\frac{8x^2-1}{8-2x^2}\end{cases}[/math]

Dalla risoluzione dei due sistemi otteniamo i punti:

[math]A=(0;-\frac{1}{8})[/math]

[math]B= (-\frac{\sqrt{2}}{4};0)[/math]

[math]C= (\frac{\sqrt{2}}{4};0)[/math]

Studio del segno

Lo studio del segno ci dà le seguenti informazioni:

f(x)>0

[math]\forall x \in (-2;-\frac{\sqrt{2}}{4})\cup(\frac{\sqrt{2}}{4};2)[/math]

f(x)<0

[math]\forall x \in (-\infty;-2)\cup(-\frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4})\cup(2;\infty)[/math]

Limiti e asintoti

Il calcolo dei limiti agli estremi del dominio evidenzia la presenza di un asintoto orizzontale di equazione

[math]y=-4[/math]
e due asintoti verticali di equazione:

[math]x=-2[/math]

[math]x=2[/math]

Derivata e monotonia

Il calcolo della derivata prima permette di individuare gli intervalli di monotonia e la presenza di un minimo assoluto, situato proprio nel punto A.

Con tutte le informazioni si può tracciare il grafico.

In allegato tutti i passaggi algebrici e il grafico.

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