Si studi il segno della seguente funzione
[math]f(x)=\frac{5^{2x}-5^-frac{x}{2}}{3\cdot4^x-2^{x-1}}[/math]
Possiamo individuare l'intervallo del dominio per il quale la funzione risulta positiva. I casi restanti conferiranno negatività alla funzione, e per un caso c'è l'annullamento (numeratore pari a zero).
[math]f(x)=\frac{5^{2x}-5^-frac{x}{2}}{3\cdot4^x-2^{x-1}}>0[/math]
Studiamo il segno del numeratore.
[math]5^{2x}-5^-frac{x}{2}>0[/math]
[math]5^{2x}>5^-frac{x}{2}[/math]
Poichè la base è maggiore di 1, l'esponente di sinistra deve risultare maggiore di quello di destra
[math]2x> -frac{x}{2}[/math]
Che restituisce [math]x>0[/math]
.Il numeratore risulterà invece negativo per i casi complementari, ovvero [math]x
Studiamo il denominatore.
[math]3\cdot4^x-2^{x-1}>0[/math]
[math]3\cdot2^{2x}-2^{x-1}>0[/math]
Ponendo come al solito [math]2^x=t>0[/math]
avremo
[math]3t^2-\frac{t}{2}>0[/math]
[math]6t^2-t>0[/math]
[math]t(6t-1)[/math]
Possiamo trascurare [math]t[/math]
che non influisce sul segno, in quanto [math]t>0[/math]
[math]6t-1>0[/math]
[math]t>\frac{1}{6}[/math]
[math]2^x>\frac{1}{6}[/math]
[math]x>\\log_2 \frac{1}{6}[/math]
Ora, esaminando le variazioni di segno su un grafico appropriato, e sapendo che
[math]\\log_2\frac{1}{6}=-2,58...[/math]
possiamo dire che la funzione è positiva nell'intervallo
[math](-oo,\\log_2 1/6) \cup (0, oo)[/math]
FINE
![Disequazioni: [math] {\left|\frac{{{2}{x}+{5}}}{{{4}{x}-{2}}}-\frac{{{x}-{1}}}{{{1}-{2}{x}}}\right|}\lt\frac{2}{{3}} [/math]](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2017/10/dise_e2-615x724.jpg)
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